「算法思想」分治、動態規劃、回溯、貪心一鍋燉

「觀感度：🌟🌟🌟🌟🌟」

「口味：東北一鍋出」

「烹飪時間：10min」

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數據結構與算法系列專欄第四彈來襲，往期專欄連接以下：

• 前端如何搞定數據結構與算法
• JavaScript算法時間、空間複雜度分析
• 你真的懂遞歸嗎？

初學者一聽到算法思想，就會以爲它們高深莫測，只能望而卻步。

但若是你看過《事實》這本書，你就不會被大腦中的慣性思惟所影響。 只要咱們理解算法思想的關鍵點，多作題練習並加深理解記憶。其實算法思想就像切菜同樣簡單。

上一篇算法系列專欄中咱們搞明白了遞歸。其實遞歸這種編程技巧是不少算法的基礎。

還沒看過的同窗建議先移步這篇專欄你真的懂遞歸嗎？

好比本文講到的這幾種算法思想，大部分都是基於遞歸思想基礎上的。

一句話理解四種算法思想

分治：分而治之，先解決子問題，再將子問題的解合併求出原問題。

貪心：一條路走到黑，選擇當下局部最優的路線，沒有後悔藥。

回溯：一條路走到黑，手握後悔藥，能夠無數次重來。(英雄聯盟艾克大招無冷卻)。

動態規劃：上帝視角，手握無數平行宇宙的歷史存檔，同時發展出無數個將來。

接下來咱們一塊兒庖丁解牛，將這幾種算法思想一鍋燉。

分治算法 Divide and Conquer

分治算法思想很大程度上是基於遞歸的，也比較適合用遞歸來實現。顧名思義，分而治之。通常分爲如下三個過程：

• 分解：將原問題分解成一系列子問題。
• 解決：遞歸求解各個子問題，若子問題足夠小，則直接求解。
• 合併：將子問題的結果合併成原問題。

比較經典的應用就是歸併排序 (Merge Sort) 以及快速排序 (Quick Sort) 等。咱們來從歸併排序理解分治思想，歸併排序就是將待排序數組不斷二分爲規模更小的子問題處理，再將處理好的子問題合併起來。

上代碼。

const mergeSort = function(arr) {
 const len = arr.length;  if (len > 1) {  // 對半分解  const middle = Math.floor(len / 2);  const left = arr.slice(0, middle);  const right = arr.slice(middle, len);  let i = 0;  let j = 0;  let k = 0;  // 分別對左右進行排序  mergeSort(left);  mergeSort(right);  while(i < left.length && j < right.length) {  if (left[i] < right[j]) {  arr[k] = left[i];  i++;  } else {  arr[k] = right[j];  j++;  }  k++;  }  // 檢查餘項  while(i < left.length) {  arr[k] = left[i];  i++;  k++;  }  while(j < right.length) {  arr[k] = right[j];  j++;  k++;  }  }  return arr; } 複製代碼

複雜度分析

• 時間複雜度：O(nlogn)
• 空間複雜度：O(n)

動態規劃 Dynamic Programming

LeetCode真題

70. 爬樓梯

雖然動態規劃的最終版本 (降維再去維) 大都不是遞歸，但解題的過程仍是離不開遞歸的。新手可能會以爲動態規劃思想接受起來比較難，確實，動態規劃求解問題的過程不太符合人類常規的思惟方式，咱們須要切換成機器思惟。

使用動態規劃思想解題，首先要明確動態規劃的三要素。

動態規劃三要素

• 重疊子問題
• 最優子結構
• 狀態轉移方程

重疊子問題

切換機器思惟，自底向上思考。

爬第 n 階樓梯的方法數量，等於兩部分之和：

• 爬上 n-1 階樓梯的方法數量
• 爬上 n-2 階樓梯的方法數量

最優子結構

子問題的最優解可以推出原問題的優解。

狀態轉移方程

dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]

具有三要素，確認邊界條件，初始化狀態，開始切菜：

• dp[0] = 1
• dp[1] = 1

const climbStairs = function(n) {
 const dp = [];  dp[0] = 1;  dp[1] = 1;  for (let i = 2; i <= n; i++) {  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];  }  return dp[n]; }; 複製代碼

複雜度分析

• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(n)

優化

在此基礎上，咱們還能夠經過壓縮空間來對算法進行優化。由於 dp[i]只與 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有關，沒有必要存儲全部出現過的 dp 項，只用兩個臨時變量去存儲這兩個狀態便可。

const climbStairs = function(n) {
 let a1 = 1;  let a2 = 1;  for (let i = 2; i <= n; i++) {  [a1, a2] = [a2, a1 + a2];  }  return a2; } 複製代碼

複雜度分析

• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(1)

貪心算法 Greedy

最近某音很火的貪心土味情話

喂，不是吧。今天喝了脈動啊，吃了果凍啊，可是，仍是忍不住對你心動啊。

回到算法中，貪心算法是動態規劃算法的一個子集，能夠更高效解決一部分更特殊的問題。實際上，用貪心算法解決問題的思路，並不總能給出最優解。由於它在每一步的決策中，選擇目前最優策略，不考慮全局是否是最優。

LeetCode真題

LeetCode 455. 分發餅乾

思路

貪心算法+雙指針求解。

• 給一個孩子的餅乾應當儘可能小而且能知足孩子，大的留來知足胃口大的孩子
• 由於胃口小的孩子最容易獲得知足，因此優先知足胃口小的孩子需求
• 按照從小到大的順序使用餅乾嘗試是否可知足某個孩子
• 當餅乾 j >= 胃口 i 時，餅乾知足胃口，更新知足的孩子數並移動指針 i++ j++ res++
• 當餅乾 j < 胃口 i 時，餅乾不能知足胃口，須要換大的 j++

關鍵點

將需求因子 g 和 s 分別從小到大進行排序，使用貪心思想配合雙指針，每一個餅乾只嘗試一次，成功則換下一個孩子來嘗試。

複雜度分析

• 時間複雜度：O(nlogn)
• 空間複雜度：O(1)

const findContentChildren = function (g, s) {
 g = g.sort((a, b) => a - b);  s = s.sort((a, b) => a - b);  let gi = 0; // 胃口值  let sj = 0; // 餅乾尺寸  let res = 0;  while (gi < g.length && sj < s.length) {  if (s[sj] >= g[gi]) {  gi++;  sj++;  res++;  } else {  sj++;  }  }  return res; }; 複製代碼

回溯算法 Backtracking

回溯算法本質上就是枚舉，使用摸着石頭過河的查找策略，還能夠經過剪枝少走冤枉路。

LeetCode真題

LeetCode 17.電話號碼的字母組合

思路

使用回溯法進行求解，回溯是一種經過窮舉全部可能狀況來找到全部解的算法。若是一個候選解最後被發現並非可行解，回溯算法會捨棄它，並在前面的一些步驟作出一些修改，並從新嘗試找到可行解。究其本質，其實就是枚舉。

若是沒有更多的數字須要被輸入，說明當前的組合已經產生。

若是還有數字須要被輸入：

• 遍歷下一個數字所對應的全部映射的字母
• 將當前的字母添加到組合最後，也就是 str + tmp[r]

關鍵點

在for循環中調用遞歸。

複雜度分析

N+M 是輸入數字的總數

• 時間複雜度：O(3^N * 4^M)
• 空間複雜度：O(3^N * 4^M)

const letterCombinations = function (digits) {
 if (!digits) {  return [];  }  const len = digits.length;  const map = new Map();  map.set('2', 'abc');  map.set('3', 'def');  map.set('4', 'ghi');  map.set('5', 'jkl');  map.set('6', 'mno');  map.set('7', 'pqrs');  map.set('8', 'tuv');  map.set('9', 'wxyz');  const result = [];   function generate(i, str) {  if (i == len) {  result.push(str);  return;  }  const tmp = map.get(digits[i]);  for (let r = 0; r < tmp.length; r++) {  generate(i + 1, str + tmp[r]);  }  }  generate(0, '');  return result; }; 複製代碼

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