[優化算法] 基因算法解決 TSP 問題

基因算法解決 TSP 問題

基因算法的運算方法包括

• Representation：將須要求解的問題的解空間用「基因」表示（連續變量用浮點型；離散變量用編碼）
• Evaluate：評價個體的適應度
• Crossover：交叉父本的基因獲得子代基因，加強搜索解空間的能力（我的認爲是提升了搜索局部最優的能力）
• Mutation：經過變異擴大搜索解空間的能力（我的認爲是提升搜索全局最優的能力）
• Selection：選擇適應度最高的個體並保留，淘汰適應度低的個體

對於二進制編碼Representation，基因算法的過程能夠清晰地表示爲：

1. 二進制編碼表示，如基因A：01001和基因B：00111
2. 交叉運算，由交叉因子pc控制是否交叉一對父本基因的基因段。對於第i位，從（0，1）均勻分佈中抽樣x並和pc相比較，若x<pc，則將兩個基因的第i位互換。好比對於第三位抽樣x，若x<pc，則獲得子代A：01101和子代B：00011
3. 變異運算，由變異因子pm控制是否使父本基因的某段基因產生變異，對於第i位，從（0，1）均勻分佈中抽樣x並和pm相比較，若x<pm，則將基因的第i位取反。好比對於基因B的第一位，一樣從（0，1）均勻分佈中抽樣x並和pm相比較，若x<pm，則獲得子代B：10011
4. 評價運算，計算各個個體（基因）的適應度，易知咱們須要一個合適的評價函數，如f(A)=a和f(B)=b
5. 選擇運算，一般使用輪盤賭的方法選擇適應度高的種羣，但其實這個能夠根據本身的須要來自定義實現方式

Tips:

　　1. 變異因子pm和交叉因子pc是能夠隨着優化進行而自適應的。好比在優化起始階段，pm和pc的值設置稍大能夠提升搜索能力，而到了優化後期，pm和pc應當相應地減少，以強化其局部搜索能力。

　　2. 輪盤賭：簡言之即得分高的個體其保留機率越大。好比對於基因A適應度/得分爲f(A)=a，基因B爲f(B)=b，那麼A的保留機率爲P_A=a/(a+b)，而P_B=b/(a+b)。

 

對於TSP問題：

　　首先，咱們要有各個城市/地點之間的距離表distance_between_cities。(能夠本身隨機生成)

　　而後，TSP問題其實就是尋找一個合適的地點（循環的）排序R，使得對於R中的每一個相鄰元素city_i的距離之和最小。對於Multiple-Run Algorithm，能夠不停生成不一樣的排序R_i，並計算相應的距離之和（即成本Cost）。而採用基因算法，其步驟以下：

1. 隨機生成包含N個排序個體的初始排序種羣R，並計算其成本Cost_original = evaluate(R)（這裏假設已經有了評價運算函數evaluate，如下同理）。
2. 在迭代次數k<設置的最大迭代次數k_max時，執行如下步驟：

• • 交叉運算 R_crossover=crossover(R)
  • 變異運算 R_mutation=mutation(R_crossover)
  • 評價運算 Cost=evaluate(R_mutation)
  • 選擇運算 [R, R_best, Cost_best]=selection(R_mutation, Cost)

交叉運算

　　交叉運算有幾種方式，本次實現採用的是基於位置的交叉。首先將種羣分爲父本和母本，隨機肯定父本中要交換的部分並複製到子代，而後將母本的其餘基因按順序複製到子代。代碼實現就須要關注避免重複的部分，能夠這樣實現：隨機取出父本中要保留的基因部分F_section（要注意的是這是一段分立的基因），再順序逐個取出母本基因元素M_element生成和F_section同等大小的M_section，兩向量相減再求元素積，爲0則表示母本基因元素M_element在父本基因段F_section中已經出現了。利用矩陣、向量運算能夠避免循環查詢父本基因段中是否有母本元素，以此實現高效率（由於矩陣運算有相關的優化）。

Partial-Mapped Crossover（部分映射交叉）

Order Crossover（順序交叉）

Position-based Crossover（基於位置的交叉）

交叉因子pc 一般較大，好比取pc=0.8。

變異運算

　　TSP問題中，變異運算只須要隨機肯定須要執行的數量，再依據變異因子pm隨機地交換兩個城市的位置便可。

評價函數

　　能夠生成一個三維張量R_tensor，其中行列爲各個城市，那麼易知，矩陣元素若爲「1/0」便是表示倆城市間是/否屬於路徑R_i。而通道則表明了種羣中的不一樣個體，故R_tensor的大小爲num_city * num_city * num_population。將各通道分別與距離表distance_between_cities做矩陣相乘獲得矩陣Temp，取其對角元素求和併除以2就是路徑R_i的距離之和，能夠用來做爲每一個路徑個體的適應度Cost。

選擇運算

　　有兩部分，1.挑選出最優的個體R_best與對應的適應度Cost_best。2.挑選出較優的種羣的一部分，做爲下一次迭代的父代。（由於交叉運算中一般會使得種羣數量減半，因此這裏能夠加倍來使種羣維持在定值）。

 

自適應的變異因子pm：利用種羣多樣性

　　在優化初期，根據種羣多樣性population_diversity保持在某個值S附近來調整pm，好比population_diversity < S時，須要提高種羣多樣性，故取c>1，令pm=pm*c提高變異的機率，同理population_diversity > S時，令pm=pm/c下降變異機率。對於浮點型算法，求種羣多樣性是採用了標準差，而對應到TSP問題中，多樣性則體如今路徑「基因段」的多樣性。變異因子初始值pm₀一般在種羣數量倒數與基因長度(TSP問題中就是路徑長度=城市數量)倒數之間，即pm₀∈(min{1/num_population, 1/num_city}, max{1/num_population, 1/num_city})。

　　舉個例子，路徑A：1354267和路徑B：5423716的類似基因段有：54,42,71，故在此定義A與B的非類似度爲7-3=4.對於路徑C=A，其非類似度爲7-7=0，易知此時非類似度∈[0,7]。對於肯定的城市數量num_city，非類似度=城市數-類似基因段數量，能夠考慮用因子S將種羣控制在非類似度在0.1*num附近。

　　其計算過程將不一樣通道的R_i相乘再取對角元素求和除以2即便類似基因段數量。如路徑1342和路徑4123，計算後獲得值爲2，即12和34。

 

 

 

	1	2	3	4
1	0	1	1	0
2	1	0	0	1
3	1	0	0	1
4	0	1	1	0

	1	2	3	4
1	0	1	0	1
2	1	0	1	0
3	0	1	0	1
4	1	0	1	0

關於浮點Representation，總體過程相似，只是其交叉運算和變異運算都有不一樣。

交叉運算

　　假設有父本X_i和母本Y_i

　　子代Z_i = a*X_i + (1-a)*Y_i　　0 < a < 1 且a是隨機生成的。

變異運算

　　變異運算能夠用 x_new_i = x_old_i + Δx_i

　　有Δx_i|r > 0.5 = (x_{max, i} - x_i)*(2*(r - 0.5))^β   和　Δx_i|otherwise = (x_min, i - x_i)*(2*(0.5 - r))^β

　　其中r是從(0,1)均勻分佈隨機生成的，β一般大於1（好比能夠取β = 3）。

 

關於算法的收斂性：尚未找資料深刻研究過該算法的收斂性。直觀地看，該算法能夠高效地搜索解空間，而且會獲得一個最優個體（感受有點相似Multiple-Run）。

 

Acknowlegement:

https://blog.csdn.net/greedystar/article/details/80343841?utm_source=blogxgwz2