題解【[USACO05NOV]奶牛玩雜技】

\[ \texttt{Description} \]

有 \(n\) 頭牛，每頭牛都有本身的體重 \(W_i\) 和力量 \(S_i\) 。

將這 \(n\) 頭牛摞在一塊兒，每頭牛的壓扁指數定義爲：壓在該牛上面的牛的體重之和 \(-\) 該牛力量 。

您須要找到一種摞牛方案，使得壓扁指數最大的牛的壓扁指數最小。

求這個壓扁指數。
\[ \texttt{Solution} \]

• 微擾（鄰項交換）證實貪心好題。

• 考慮任意一個摞牛方案，設該摞牛方案中，從頂端往底端數的第 \(i\) 頭牛的體重爲 \(W_i\) ，力量爲 \(S_i\) 。

• 記 \(Z_i=\sum\limits_{j=1}\limits^{i}W_j\)（前 \(i\) 頭牛體重和）。

• 咱們考慮任意一個鄰項，考慮交換：

	第 \(i\) 頭牛	第 \(i+1\) 頭牛
交換前壓扁指數	\(Z_{i-1}-S_i\)	\(Z_{i-1}+W_i-S_{i+1}\)
交換後壓扁指數	\(Z_{i-1}-S_{i+1}\)	\(Z_{i-1}+W_{i+1}-S_i\)

• 咱們發現須要比較這兩個式子的值：

\[ \max(Z_{i-1}-S_i,Z_{i-1}+W_i-S_{i+1}) \\ \max(Z_{i-1}-S_{i+1},Z_{i-1}+W_{i+1}-S_i) \]

• 式子內部減去 \(Z_{i-1}\) ，得：

\[ \max(-S_i,W_i-S_{i+1}) \\ \max(-S_{i+1},W_{i+1}-S_i) \]

• 式子內部加上 \(S_i+S_{i+1}\) ，得：

\[ \max(S_{i+1},W_i+S_i) \\ \max(S_i,W_{i+1}+S_{i+1}) \]

• 注意到 \(W\) 爲正整數，因此有 \(S_i \leq W_i+S_i\) ，\(S_{i+1} \leq W_{i+1}+S_{i+1}\) 。
• 也就是說當 \(S_{i+1} = \max(S_{i+1},W_i+S_i)\) 時，也定不會比 \(\max(S_i,W_{i+1}+S_{i+1})\) 大，另外一式子同理。
• 故能夠轉化爲比較這兩個式子的值：

\[ W_i+S_i \\ W_{i+1}+S_{i+1} \]

• 當 \(W_i+S_i \leq W_{i+1}+S_{i+1}\) 時，上式 \(\leq\) 下式，則交換前定不比交換後優。

• 當 \(W_i+S_i \geq W_{i+1}+S_{i+1}\) 時，上式 \(\geq\) 下式，則交換後定不比交換前劣。

• 咱們將知足 \(W_i+S_i > W_j+S_j\) ，\(i<j\) 的點對 \((i,j)\) 視爲一個逆序對，顯然，在任意局面下，增長逆序對的數量都不會使總體結果變優，減小逆序對的數量都不會使總體結果變差。
• 根據冒泡排序，在任意局面下，均可經過鄰項交換使得該序列的逆序對數量變 \(0\) ，當逆序對數量爲 \(0\) 時，實際上就是將這 \(n\) 頭牛以 \(W_i+S_i\) 爲關鍵字從小到大排序。

• 至此咱們就有一個貪心策略：將這 \(n\) 頭牛以 \(W_i+S_i\) 爲關鍵字從小到大排序。儘管這個貪心策略很玄學。

• 排好序，按題目描述說的同樣算出答案便可。

• \(\mathcal{O(n \log n)}\) 。

\[ \texttt{Code} \]

#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define RI register int

using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}

const int N=50010;

int n;

struct Cow{
    int W,S;
}a[N];

bool cmp(Cow a,Cow b)
{
    return a.W+a.S<b.W+b.S;
}

long long ans=-0x3f3f3f3f;

int main()
{
    n=read();

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        a[i].W=read(),a[i].S=read();

    sort(a+1,a+1+n,cmp);

    long long sum=0;
    for(RI i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,sum-a[i].S);
        sum+=a[i].W;
    }

    printf("%lld\n",ans); 

    return 0;
}

\[ \texttt{Thanks} \ \texttt{for} \ \texttt{watching} \]