重溫離散系列①之什麼是證實

什麼是證實

Definition(證實的定義)

A mathmatical proof of a proposition is a chain of logical deduetions leading to the proposition from a base of axioms.
譯：命題的數學證實是從公理得出命題的一系列的邏輯推論。

命題的定義

命題是真假客觀存在的陳述句。

• 能夠客觀準確給出真假的語句纔是命題。
  好比：「有外星人」，「給我這本書」，「php是世界上最好的語言」都不是命題。
• 真假性隨時間環境變化的語句也不是命題。
  好比：「如今是五點鐘」，「明天股票會漲」，「今每天氣不錯」都不是命題。

###歷史上著名的命題

1. 歐拉猜測(Euler's Conjecture) ： 若a,b,c,d都是正整數，等式
   \[a^4+b^4+c^4=d^4\]無解。
2. 四色定理(Four Color Theorem) ：用四種顏色給地圖着色，可使每張地圖相鄰區域的顏色各不相同。
3. 費馬大定理(Fermat's Last Theorem)： 當整數n>2時，\(x^n+y^n=z^n\)沒有正整數解。
4. 哥德巴赫猜測(Goldbach's Conjecture) ：任意大於2的偶數都是兩個質數的和。

謂詞語句

definition:真假性取決於一個或多個變量的語句。如：「n是一個徹底平方數」就是謂詞語句，只有知道n的值，才能肯定它的真假。

• 謂詞語句一般用」定義「符號: " : = "
  p(n) : = "n是一個徹底平方數"。當n=4時，即p(4)命題爲真；p(5)命題爲假。

• 謂詞語句不是命題，由於它的真假性沒法判斷。

• 要想讓謂詞語句變成一個命題，有兩種方法：

1. n 取值，如上述的p(4),p(5)就是命題。
2. 量詞 (∀,∃)，如「 ∃n,使得n是一個徹底平方數 」就是命題。

常見的證實方法

證實的原則：

1. 在考慮證實的邏輯步驟時，你的草稿能夠比驕混亂，可是最終的證實應當是清晰的，簡明的。
2. 證實一般以「證實」一詞開始，以某種分隔符如■或「QED」結束。這些約定只是爲了明確證實從哪裏開始，哪裏結束。

1.直接證實法

從條件(前介)直接推出結果(後介)

• 例：若是\(0\leq x \leq 2\)，則\(-x^3+4x+1>0\)
  證實. 假設\(0\leq x \leq 2\)。那麼x，2-x，2+x都是非負的。所以有：\[-x^3+4x+1=x(2-x)(2+x)+1>0\]

  原命題得證。 ■

2. 證實逆反命題

一個命題的真假性和它的逆否命題一致，若要證實命題爲真，只需證實它的逆否命題爲真便可。

• 例： 證實若是 r 是無理數，\(\sqrt{r}\) 也是無理數
  證實. 咱們使用逆否命題來證實，即 \(\sqrt{r}\) 是有理數，r 也是有理數 。
  設 \(\sqrt{r}=\frac{n}{m}\) (其中 n，m 均爲整數), 則 \(\sqrt{r}=\frac{n^2}{m^2}\). 顯而易見，r 必是有理數，逆否命題得證，原命題得證。 ■

3. 證實當且僅當問題

「當且僅當」敘述時一般簡寫爲「IFF」。語句「p IFF q 」等價於「P IMPLIES Q」以及「Q IMPLIES P」。所以，要證實IFF，咱們須要證實兩個蘊含。(即證實充分性和必要性)

4. 反證法

反證法，又稱間接證實法。它首先假設某命題成立（即在原命題的條件下，結論不成立），而後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。

• 例：證實\(\sqrt{2}\)是無理數

  證實. 咱們使用反證法證實，即設 \(\sqrt{3}\) 是有理數，那麼咱們能夠將 \(\sqrt{3}\) 寫成最簡分式 \(\frac{n}{m}\)。

  兩邊同時平方，得 3=\(\frac{n^2}{m^2}\) ,有：\(3m^2\)= \(n^2\)。

  易知n是3的倍數，因此 \(n^2\)是9的倍數 。又由於 \(n^2\)=\(3m^2\) , 故 \(3m^2\) 也是 9 的倍數，即 \(m^2\) 爲 3 的倍數，由證實可得 m 也爲 3 的倍數。

  n,m 同時爲 3 的倍數，故\(\frac{n}{m}\)不可能爲最簡分式，與條件相矛盾 ，故 \(\sqrt{3}\) 是無理數。

  原命題得證。 ■

5. 分狀況討論

將複雜的證實分解成案例，而後分別證實每個案例，這是一種常見的，頗有用的證實策略。

• 例：證實任意 6 我的中，老是 3 我的互相認識或互相不認識

  證實. 設x是六我的中的一個。咱們分狀況討論：

  狀況1. 剩下的5我的中至少3個和x認識

  ​ 狀況1.1：這些人相互都不認識對方。那麼，這些人就是至少3個的陌生人組，定理成立。

  ​ 狀況1.2：這些人中有的見過對方。那麼，這兩我的和x就構成了3個認識人組，定理成立。

  狀況2. 剩下的5我的中至少3個和x不認識

  ​ 狀況2.1：這些人相互都認識對方。那麼，這些人就是至少3個的認識人組，定理成立。

  ​ 狀況2.2：這些人中有的不認識對方。那麼，這兩個和x就構成了3個陌生人組，定理成立。

  原命題得證。 ■

  一些習題

第一章習題(選作)

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