位運算進階

目錄

• 編碼
• 光速大整數乘法
• 二進制狀態壓縮
  • 位運算操做
  • 運算符優先級
• $lowbit$ 計算
  • 推導
  • Code
  • 內置函數
• 參考文獻

編碼

在 m 位二進制數中，一般稱最低位爲 0 位，從右到左以此類推，最高位爲 \(m-1\) 位。

當無符號整數 (unsigned) 爆了的時候，它會自動 %，不會爆出負數。

C++ 的十六進制經常以 「0x」 開頭，「0x」 後面的部分對應具體的十六進制的數值。當使用 memset 時，memset 只能賦值出 「每 8 位都相同的數」。當須要把一個數組中的數值初始化爲正無窮時，爲了不加法算術上溢出或者繁瑣的判斷，咱們常常用 memset(a, 0x3f, sizeof(a)) 給數組賦 0x3F 3F 3F 3F 的值來代替。

對於數字 0x3F 3F 3F 3F，它是知足如下兩個條件的最大整數：

1. 整數的兩倍不超過 0x7F 7F 7F 7F，即 int 能表示的最大正整數。
2. 整數的每 8 位（每一個字節） 都是相同的。

光速大整數乘法

• 時間複雜度爲 \(O(1)\)

  ull mul(ull a,ull b,ull p)
  {
      a%=p;
      b%=p;
      ull c=(long double) a*b/p;
      ull x=a*b;
      ull y=c*p;
      ll ans=(ll)(x%p)-(ll)(y%p);
      if(ans<0) ans+=p;
      return ans;
  }

• 時間複雜度爲 \(O(\log_2b)\)

  ll mul(ll a,ll b,ll p)
  {
      ll ans=0;
      for(;b;b>>=1)
      {
          if(b&1) ans=(ans+1)%p;
          a=a*2%p;
      }
      return ans;
  }

二進制狀態壓縮

位運算操做

二進制狀態壓縮，是指將一個長度爲 m 的 bool 數組用一個 m 位二進制整數表示並存儲的方法。利用下列位運算操做能夠實現原 bool 數組中對應下標元素的存取。

操做	運算
取出 n 的第 k 位	( n >> k ) & 1
取出 n 的後 k 位（ 0 ~ k-1 位）	n & ( ( 1 << k ) - 1 )
將第 k 位取反，賦值到 n	n = n xor ( 1 << k )
將第 k 位變爲 1，賦值到 n	n |= ( 1 << k )
將第 k 位變爲 0，賦值到 n	n &= ( ~ ( 1 << k ) )

這種方法運算簡便，比暴力從十進制算出二進制的每一位節省了大量的時間和空間。

推薦題目：CSP-S2020 動物園

運算符優先級

從高到低排列：

加減	移位	比較大小	按位與	按位異或	按位或
+ , -	<< , >>	> , < , == , !=	&	xor ( C++ ^ )	|

若是不肯定優先級，則能夠加一些括號，以保證運算順序的正確性。

\(lowbit\) 計算

lowbit(n) 定義爲非負整數 n 在二進制表示下 「最低位的 1 及其後邊全部的 0 構成的數值」。

推導

設 \(n>0\) ，\(n\) 的第 \(k\) 位是 \(1\)，第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 \(0\)。

爲了實現 lowbit 運算，先把 \(n\) 取反，此時第 \(k\) 位變爲 0， 第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 1。再令 \(n=n+1\) ，此時由於要進位，第 k 位變爲 1 ，第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 0。

在上面的取反加 1 操做後，\(n\) 的第 \(k+1\) 到最高位剛好與原來相反，因此 \(n ~\& ~(\sim n+1)\) 僅有第 \(k\) 位爲 1，其他位都是 0。而在補碼錶示下，\(\sim n = -1-n\)，所以：

\[lowbit(n)=n ~\& ~(\sim n+1) = n ~\& ~(-n) \]

Code

配合 Hash 代替 \(\log\) 運算，可使複雜度下降。

const maxn = 1 << 20;
int H[maxn];
for(int i=0; i<=20; ++i)
    H[1 << i] = i; //預處理

while(cin >> n) //對多組數據進行求解
{
    while(n > 0)
    {
        cout << H[n & -n] << ' ';
        n -= n & -n;
    }
    puts("");
}

內置函數

下面這些仙術能夠高效計算 lowbit 以及二進制中 1 的個數。可是，部分競賽禁止 使用下劃線開頭的庫函數，因此這些內置函數在競賽裏不要使用。

• 返回 \(x\) 的二進制表示下最低位的 1 後面有多少個 0：
  int __builtin_ctz (unsigned int x)
long long __builtin_ctzll (unsigned long long x)

• 返回 \(x\) 的二進制表示下有多少位爲 1：
  int __builtin_popcount (unsigned int x)
int __builtin_popcountll (unsigned long long x)

參考文獻

李煜東 《算法競賽 進階指南》

EdisonBa

2021.1.15