[解題][zerojudge] a229: 括號匹配問題

原題目在zerojudge,若對於backtracking技術不熟可看演算法筆記-backtracking

Problem

請寫一個程式把全部合法括號匹配方式列出來!

Ex:

• 如下是合法的匹配方式

  • (())

  • ((()()))

  • ()((()))

• 如下是不合法的匹配方式

  • )(

  • (()))(

  • ()(()(

---

合法匹配的括號 ， 從答案列的開頭到答案列某一點，左括弧次數永遠大於等於右括弧!

Ex. 合法匹配   ((()()))     

    字串 (         左括弧 : 1  >=   右括弧 : 0        

    字串 ((        左括弧 : 2  >=   右括弧 : 0   

    字串 (((       左括弧 : 3  >=   右括弧 : 0    

    字串 ((()      左括弧 : 3  >=   右括弧 : 1

    字串 ((()(     左括弧 : 4  >=   右括弧 : 1

    字串 ((()()    左括弧 : 4  >=   右括弧 : 2

    字串 ((()())   左括弧 : 4  >=   右括弧 : 3

    字串 ((()()))  左括弧 : 4  >=   右括弧 : 4

Ex. 不合法匹配    (()))(

    字串 (         左括弧 : 1  >=   右括弧 : 0 

    字串 ((        左括弧 : 2  >=   右括弧 : 0   

    字串 (()       左括弧 : 2  >=   右括弧 : 1

    字串 (())      左括弧 : 2  >=   右括弧 : 2

    字串 (()))     左括弧 : 2  <=   右括弧 : 3    

    !!! 右括弧次數大於左括弧了!  (()))( 為不合法匹配

Input ：
輸入一個正整數 N ， 1 =< N <= 13 。
N 表明有幾組括號要匹配

Ex:
N = 1 表明 一組括號 ()
N = 2 表明有兩組括號 ()()

Output ：
輸出 N 組括號的全部合法匹配組合
輸出方式請見範例

---

Sample Input ：

1
2
3
4

Sample Output:

()
 
(())
()()
 
((()))
(()())
(())()
()(())
()()()

(((())))
((()()))
((())())
((()))()
(()(()))
(()()())
(()())()
(())(())
(())()()
()((()))
()(()())
()(())()
()()(())
()()()()

Method1: brute force

圖和程式以LENTH=4為例

先將全部可能列舉出來,再用程式判斷是否合法(balanced parentheses problem)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>

#define LENGTH 4
using namespace std;
bool islegal(char str[]){
    stack<char> s;
    
    for(int i = 0 ; i < LENGTH ; i++){
        if( str[i] == '(' )
            s.push('(');
        
        else if(str[i] == ')' ){
            if(s.empty() || s.top() != '(')
                return false;
            else
                s.pop();
        }
    }
    
    if(s.empty())
        return true;
    return false;
}

void backtrack(char str[],int index){
//index為第幾個格子

    if(index ==  LENGTH){
        str[LENGTH] = '\0';
        if(islegal(str))
            cout << str << endl;
        return;
    }
    
    
    str[index] = '('; //格子放open paren
    backtrack(str , index + 1); //繼續窮舉
    str[index] = ' '; //還原
    
    str[index] = ')';  //格子放close paren
    backtrack(str , index + 1); //繼續窮舉
    str[index] = ' '; //還原    
    
}



int main(){
    char str[LENGTH + 1];
    backtrack(str, 0);
}

觀察之後能夠發現,若此括號字串長度為n, islegal(.)檢查是否合法所花的時間為O(n),共要列舉2^n,因此總共花的時間為O(n * 2^n)

Method2: prune and bound

圖和程式以LENTH=4為例

• 為了方便,如下(皆以open paren一詞取代,(皆以close paren一詞取代

• 一個狀態表明一個長方形格子(4個子格子)

括號匹配問題中,在每一個狀態下必定都是先放open paren到格子裡,若先放close paren則之後無論放什麼皆無法balanced, ex:第一個格字為open paren,則後面無論放多長或放什麼皆無法balanced.因此在任何狀態close paren數量大於open paren數量纔有可能balanced.

另外一個限制,如果open paren和close paren數量沒有相等則無法達成balanced,若總長度為L(L為偶數,若L為奇數則不可能balanced,無需探討)則open paren和close paren長度不超過L/2.

總結:

若open paren數量為l,close paren數量為r,字串長度為L

1. 若在某個狀態遇到 r > l,則不可能balanced,因此這條路不需繼續走

2. 若字串長度為L,在每一個狀態下 l <= L/2 and r <= L/2

由上述兩條可知:

1. 放入open paren以前(not 之後)要符合l < L/2之限制

2. 放入close paren以前(not 之後)要同時符合r < L/2和 l > r,因為滿足l > r則必定會滿足r < L/2因此只要符合l > r便可

implementation

剛剛我們講到l與r分別是open paren數量和close paren數量,為了記住l與r因此我們將函數設計成void backtrack(char str[],int index ,int left, int right),int left和int right分別是l和r.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>

#define LENGTH 4
using namespace std;
void backtrack(char str[],int index ,int left, int right){
    if(index ==  LENGTH){
        str[LENGTH] = '\0';
        cout << str << endl;
        return;
    }
    
    if(left < LENGTH/2){
        str[index] = '(';
        backtrack(str , index + 1 , left + 1 , right);
        str[index] = ' ';
    }
    
    if(left > right){
        str[index] = ')';
        backtrack(str , index + 1 , left , right + 1);
        str[index] = ' ';
    }
}

int main(){
    char str[LENGTH + 1];
    backtrack(str, 0,0,0);
}

Sol

以上皆以LENGTH=4(即 N=2)為例,如下程式為此題的AC解,可上傳

#include <iostream>
#include <deque>
#include <cstdio>
using namespace std;
deque <char> qu;
int num;
void pa(int,int,int);
int main(){
  while(cin >> num){
    pa(0,0,0);
    cout <<endl;
  }
}
void pa(int le,int ri,int n){
  if (n==2*num){//終止遞迴 
    for(int i=0;i<2*num;i++) printf("%c",qu[i]);
    printf("\n");
    return;
  }
  if (le<num) {//le表示已經加入的左小括號個數，從0開始不能超過或等於num 
    qu.push_back('(');
    pa(le+1,ri,n+1);//多了一個左小括號le+1，n+1為已經加入的左與右小括號個數 
    qu.pop_back();
  }
  if ((le>ri)&&(ri<num)) {//左小括號要大於右小括號數，且右小括號數要小於num 
    qu.push_back(')');
    pa(le,ri+1,n+1);//多了一個右小括號ri+1，n+1為已經加入的左與右小括號個數
    qu.pop_back();
  }
}

Reference

1. 高中資訊科技概論教師黃建庭的教學網站-a229: 括號匹配問題

2. 演算法筆記-backtracking