密碼學之RSA加密算法

1. 密碼學

1.1 什麼是密碼學？

密碼學是研究編制密碼和破譯密碼的技術科學。在現代特別指對信息以及其傳輸的數學性研究，常被認爲是數學和計算機科學的分支，和信息論也密切相關。

在這裏簡述一下密碼學的發展歷史。

1.2 密碼學的發展歷史

1. 在1976年之前，全部的加密方法都是同一種模式：加密、解密使用同一種規則（密鑰）。在交互數據的時候，彼此通訊的雙方就必須將規則告訴對方，不然無法解密。這種加密方式被稱爲 對稱加密算法（symmetric encryption algorithm）。

2. 1976年，兩位美國計算機學家 迪菲（Whitfield Diffie）、赫爾曼（Martin Hellman） 提出了一種創建密鑰的方法，其產生的密鑰可用於加密、密鑰管理或任何其它的加密方式。這被稱爲「迪菲赫爾曼密鑰交換」算法，簡稱 D-H算法。D-H算法啓發了其餘科學家。人們意識到，加密和解密可使用不一樣的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關係便可，這樣就避免了直接傳遞密鑰。

3. 1977年三位麻省理工學院的數學家 羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir） 和 倫納德·阿德曼（Leonard Adleman） 一塊兒設計了一種算法，能夠實現非對稱加密。（所謂非對稱，就是指該算法須要一對密鑰，即公鑰(public key) 和 私鑰(private key)，且兩密鑰不一樣，使用其中一個加密，則須要用另外一個才能解密）。這個算法用他們三我的的名字命名，叫作 RSA算法。

RSA算法的影響是巨大的，絕不誇張地說，只要有計算機網絡的地方，就有RSA算法。這種算法很是可靠，密鑰越長，它就越難破解。

接下來，咱們須要學習幾個數學概念，這有助於咱們理解RSA加密算法。

2. 幾個數學概念

2.1 取模運算(mod)

即求餘運算，是在整數運算中求一個整數A除以另外一個整數B的餘數的運算，且不考慮運算的商。在計算機程序設計中也有mod運算，其格式爲： mod(A, B)，便是兩個數值做除法運算後的餘數。

注意：

1. 當A、B爲同號時，即同爲正整數或負整數時，mod運算與咱們熟悉的%運算相同，可看成是%運算；
   如，3 mode 17 = 3 % 17 = 3；-5 mod -3 = -5 % -3 = -2
2. A、B異號時，mod運算與%運算不一樣，在這裏不做詳細贅述，感興趣的同窗可自行查閱相關資料。

2.2 互質關係

若是兩個正整數，除了1以外，沒有其它公因數，咱們就稱這兩個數存在互質關係，即這兩個數互質。
關於互質關係，不可貴到如下幾個結論：

1. 任意兩個 不一樣的質數 互質。好比11和23互質，11和11不互質。
2. 一個是質數，另外一個只要不是前者的倍數，二者就構成互質關係。好比5和12互質。
3. 一個質數與任意一個比它小的數互質。好比11和8。
4. 1和任意一個大於1的天然數互質。好比1和99。
5. p是大於1的整數，則p和p-1互質。好比10和9。

注意： 兩個正整數互質，意思是這兩個整數存在互質關係，即沒有1以外的其它公因數，並不意味着這兩個數是質數。好比9和10互質，可是9和10均爲合數。

2.3 歐拉函數

對於一個正整數n，小於n且和n互質的正整數的個數，計算這個值的方法叫作歐拉函數，記作：φ(n)。歐拉函數通式爲

其中，p₁、p₂、...、p_k爲n的質因數。
如12=2*2*3，2和3爲12的質因數，則φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。 關於歐拉函數，一樣有幾個推論：

1. 特別聲明，若是n=1，則φ(1)=1，由於1與任何數（包括它自己）造成互質關係。
2. 當n是質數的時候，φ(n)=n-1。如φ(7)=6，即一、二、三、四、五、6均與7互質。
3. 若是n能夠分解成兩個互質的整數之積，如n=a*b，則φ(n)=φ(a)*φ(b)。 如φ(56)=φ(7)*φ(8)=24； 注意，φ(49)≠φ(7)*φ(7) => φ(49)≠36，由於7與7不互質。事實上，φ(49)=42。
4. 由2和3能夠獲得，若是n=a*b，且a、b均爲質數，則φ(n)=(a-1)*(b-1)。如φ(35)=φ(5)*φ(7)=24；
5. 若是n=p^k（其中p爲質數，k爲大於1的整數），則φ(n)=φ(p^k)=p^k-p^k-1=(p-1)p^k-1。如φ(49)=φ(7²)=(7-1)*7¹=42。

2.4 歐拉定理

歐拉定理指的是，若是兩個互質的正整數m和n，那麼m的φ(n)次方減去1，能夠被n整除。即，

如7和3互質，7^φ(3) mod 3 = 7² mod 3 = 1

1. 費馬小定理：當n爲質數的時候，則有 m^n-1 mod n ≡ 1
2. 歐拉定理是RSA算法的核心，理解了這個定理，就理解了RSA算法。

2.5 模反元素

若是兩個正整數m和n互質，那麼必定能夠找到整數d，使得md-1能被n整除，那麼d就是m相對於n的模反元素。即

由上式，可得 d=(kn+1)/m。

歐拉定理能夠證實上式。因爲m和n互質，那麼m和n必知足歐拉定理，即 m^φ(n) mod n ≡ 1， 令d=m^φ(n)-1，即得證！

如，3和5互質，當，k爲大於等於1的整數，不難求出當k=4時，獲得d=3，即3(d)就是11(e)相對於8(x)的一個模反元素。

3. RSA加密算法

介紹完以上幾個數學概念，咱們詳細介紹一下RSA加密算法。

3.1 RSA加密算法原理

RSA使用不一樣的加密密鑰與解密密鑰，是一種「由已知加密密鑰推導出解密密鑰在計算上是不可行的」密碼體制。其原理是基於大數難以分解，即兩個大素數相乘容易，但逆向獲得一個由兩個大質數相乘獲得的更大數的因子則很困難。除了暴力破解，目前尚未其它有效的方法。換而言之，RSA加密算法的可靠性，取決於對極大整數作因式分解的難度。假若有人找到一種快速因數分解的算法（或者量子計算機技術快速發展？），那麼RSA的可靠性就會極度降低。但就目前而言，1024位RSA基本安全，2048位是極其安全的。

舉例來講，你能夠對33進行因式分解（3*11），可是你無法對下面這個整數進行因式分解

12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413
複製代碼

它等於這樣兩個質數的乘積：

33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
複製代碼

3.2 密鑰生成的步驟

咱們經過一個例子，來理解RSA加密算法。假如甲和乙兩人進行通訊。其流程以下：

1. 甲選擇兩個不相等的質數p和q，甲選擇了3和11，即p=3，q=11。
   注意：實際應用中，這兩個質數越大，就越難破解。
2. 甲計算獲得p和q的乘積n，即n=33
   n的長度就是密鑰長度，33寫成二進制是100001，一共有6位，因此這個密鑰是6位。
3. 甲計算n的歐拉函數φ(n)，獲得φ(n) = (p-1)(q-1) = 20
4. 隨機選一個整數e，知足1 < e < φ(n)，且e與φ(n)互質。甲選擇了13。
5. 再計算e相對於φ(n)的模反元素d。將e、φ(n)代入公式ed=kφ(n)+1，獲得13d=20k+1，此二元一次方程能夠用 「擴展歐幾里得算法」 求解，此處省略過程。總之，甲算出一組整數解爲(d,k)=(17,11)，即d=17
6. 將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。即公鑰是(33,13)，私鑰是(33,17) 注意：實際應用中，公鑰和私鑰的數據都採用 ASN.1 格式表達。

3.3 RSA加密算法的可靠性分析

上述步驟共出現6個數字：p:三、q:十一、n:3三、φ(n):20、e:1三、d:17。其中，公鑰用了兩個，即(n和e)，其他四個數字不公開。這些數字中最關鍵的是d，由於n和d組成了私鑰，一旦d泄露，就等於私鑰泄露。

討論：在已知公鑰(n,e)的狀況下，推導d

因爲d是e相對於φ(n)的模反元素，知足ed mod φ(n) ≡ 1，要想求出d，必須知道e和φ(n)。
又由φ(n) = (p-1)(q-1)，只有知道p和q，才能求出φ(n)。
而n = pq，只有將n因式分解，才能算出p和q。

結論：若是n能夠被因式分解，d就能夠算出，也就意味着私鑰被破解。所以，RSA加密算法的可靠性，取決於對極大整數作因式分解的難度。

3.4 加密和解密

有了公鑰和私鑰，就能夠進行通訊了。

1. 假設乙要向甲發送信息m，他須要用甲的公鑰(n,e)即(33,13)對m進行加密，獲得密文c。加密規則爲：m^e mod n ≡ c，假設m爲6，則c=18。因而，乙將18發給了甲。
2. 甲收到了乙發送過來的信息，即18，也就是c的值，並用本身的私鑰(n,d)即(33,17)進行解密。解密規則爲：c^d mod n ≡ m，即m=6。所以，甲知道了乙發送過來的原文是6。

至此，「加密-解密」的過程就完成了。

思考：爲何解密規則是 c^d mod n ≡ m ？

3.5 解密規則的證實

根據加密規則 m^e mod n ≡ c，獲得 c ≡ m^e - kn
將其代入咱們要證實的解密規則，可獲得：
(m^e - kn)^d mod n ≡ m
它等同於證實： m^ed mod n ≡ m
又因爲d爲e相對於φ(n)的模反元素，故ed mod φ(n) ≡ 1，即ed = k*φ(n)+1，將ed代入上式得：
m^kφ(n)+1 mod n ≡ m，(k爲大於等於1的整數)
所以，上式得證則解密規則成立！

在此，咱們再梳理一下加-解密過程當中的這幾個數字：p:三、q:十一、n:3三、φ(n):20、e:1三、d:1七、明文m:六、密文c:18。

1. n爲兩個質數p和q的乘積，則n與以上除了p、q、n以外的任意數互質。(實際運用中，p和q爲大質數，從而保證了n被破解的難度很大)；
2. e知足1 < e < φ(n)，而且與φ(n)互質，d爲e相對於φ(n)的模反元素，即ed=kφ(n)+1

接下來，分紅兩種狀況證實解密。

• m與n互質時

1. 根據歐拉定理，m^φ(n) mod n ≡ 1
2. 因爲1^k≡1和1*m≡m，對兩邊表達式進行k次冪運算後，再各乘以m，獲得 m^kφ(n)+1 mod n ≡ m，得證！
3. 即m和n互質時，解密規則成立。

• m與n不互質時

1. 因爲n爲兩個質數（p和q）的乘積，故m必爲其中一個質數的倍數，在此取m=kp。
2. 根據歐拉定理，有 (kp)^φ(q) mod q ≡ 1
3. 因爲1^[hφ(p)]≡1和1*(kp)≡kp，獲得 (kp)^hφ(n)+1 mod q ≡ kp
4. 又ed=kφ(n)+1，代入上式可得 (kp)^ed mod q ≡ kp，故 (kp)^ed ≡ tq + kp（思考t和p的關係）
   t和p的關係：由上式獲得 (kp)^ed mod t ≡ kp ，顯然，t必然能被p整除，即 t=t'p。
5. 所以，(kp)^ed ≡ t'pq + kp，因爲m=kp和n=pq，因此 m^ed mod n ≡ m，得證！即，m和n不互質時，解密規則也成立！

綜上，不管明文m是什麼內容，都能經過加密規則：m^e mod n ≡ c 生成密文c，再由解密規則：c^d mod n ≡ m 獲得明文m。

3.6 RSA算法的特色

經過對RSA算法原理、流程的驗算分析，不可貴出如下幾個結論：

1. RSA算法不須要進行密鑰傳遞，安全性高。
2. RSA算法的加密解密效率不高，通常應用於處理小數據。
   如加密KEY、數字簽名等。

4. 示例

講了半天RSA算法的理論知識，是時候展現真正的技術了。接下來，咱們用終端來玩一下RSA吧。

因爲Mac系統內置OpenSSL(開源加密庫)，因此咱們能夠直接在終端上使用命令來玩RSA。
OpenSSL中RSA算法的經常使用指令主要有三個：

genrsa，生成並輸入一個RSA私鑰
rsautl，使用RSA密鑰進行加密、解密、簽名和驗證等運算
rsa，處理RSA密鑰的格式轉換問題。

操做流程以下：

1. 生成一個長度爲1024位的RSA私鑰

openssl genrsa -out private.pem 1024
複製代碼

結果以下：

• 對私鑰內容感興趣的同窗能夠用下面的命令將私鑰轉換成明文。

openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
複製代碼

自行打開private.txt文件便可，這裏不做文件內容說明。

2. 從私鑰中提取公鑰

openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
複製代碼

結果以下：

3. 假設明文文件內容是

   

4. 對明文文件進行 公鑰加密 和 私鑰解密

經過公鑰進行加密

openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
複製代碼

經過私鑰進行解密

openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt
複製代碼

結果以下：

解密後的文件dec.txt內容正好是【密碼：helloRSA123456】，與明文內容一致。至此，RSA算法流程結束。

注意：也可用 私鑰加密 和 公鑰解密，如：
1). 經過私鑰進行加密
openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc.txt
2). 經過公鑰進行解密
openssl rsautl -verify -in enc.txt -inkey public.pem -pubin -out dec.txt

5. 參考資料

• 阮一峯的RSA算法原理（一）
• 阮一峯的RSA算法原理（二）