一個數組求其最長遞增子序列(LIS)

一個數組求其最長遞增子序列(LIS)

例如數組{3, 1, 4, 2, 3, 9, 4, 6}的LIS是{1, 2, 3, 4, 6}，長度爲5，假設數組長度爲N，求數組的LIS的長度,

 

須要一個額外的數組 LIS 來記錄

 長度從1 到 n 慢慢變長求解的過程當中 對應長度的 最長遞增子序列的最小的末尾元素

 

解決方法

長度爲1時 {3}：

將3放入LIS中，表示長度爲1的時候,{3}數組的最長遞增子序列的最小微元素

LIS：{3}

只有一個元素，因此 最長遞增子序列就是 {3},最長遞增子序列的最小尾元素 就是3

 

長度爲2時 {3,1}：

新加入的元素1<3 長度增長變成2時，新加入的元素1比長度爲1的時候的 最長遞增子序列的最小尾元素還小，因此新加入元素1不會引發最長遞增子序列變長，因此須要將1 插入 LIS中，在LIS中找到最小的比1大的元素，替換該元素，完成長度爲2 的時候 最長遞增子序列的尋找，

LIS：{1}

1替換掉3 表示 在長度爲2的時候{3，1}的最長遞增子序列的最小尾元素是1，驗證 最長遞增子序列{1}或{3}

 

長度爲3時 {3,1,4}：

新加入的元素4>1,新加入的元素，比長度爲2時的最長遞增序列的最小尾元素大，說明新加入元素能夠引發最長遞增序列的增加，加入新元素4得：

LIS：{1，4}

 驗證 最長遞增序列 {3,4} 或者 {1,4}

 

長度爲4時 {3,1,4,2}：

新加入元素2<4, 比長度爲3時的最長遞增子序列的最小尾元素小，說明不引發最長遞增序列的增加，須要在LIS中找到替換的元素 找到第一個比2大的元素4替換，這樣在保證遞增序列數量不變的狀況下，將遞增序列的範圍往小值方向移動。得

LIS：{1，2}

驗證 最長遞增序列 {3,4} 或者 {1,2}

 

長度爲5時 {3,1,4,2，3}：

新加入元素3>2, 比長度爲4時的最長遞增子序列的最小尾元素大，說明引發最長遞增序列的增加，得

LIS：{1，2,3}

驗證 最長遞增序列 {1,2,3}

 

長度爲6時 {3,1,4,2,3,9}：

新加入元素9>3, 比長度爲5時的最長遞增子序列的最小尾元素大，說明引發最長遞增序列的增加，得

LIS：{1,2,3,9}

驗證 最長遞增序列 {1,2,3,9}

 

 

長度爲7時 {3,1,4,2,3,9,4}：

新加入元素4<9, 比長度爲3時的最長遞增子序列的最小尾元素小，說明不引發最長遞增序列的增加，須要在LIS中找到替換的元素 找到第一個比4大的元素9替換，這樣在保證遞增序列數量不變的狀況下，將增序列的範圍往小值方向移動。得

LIS：{1,2,3,4}

驗證 最長遞增序列  {1,2，3，4}

 

長度爲8時 {3,1,4,2,3,9,4，6}：

新加入元素6>4, 比長度爲7時的最長遞增子序列的最小尾元素大，說明引發最長遞增序列的增加，得

LIS：{1,2,3,4，6}

驗證 最長遞增序列  {1,2，3，4，6}

 

須要注意：

LIS保存的是 求解的過程當中 對應長度的 最長遞增子序列的最小的末尾元素 不必定就是最長遞增序列原來的序列

 

插入新元素尋找替換位置的時候 有序查找能夠使用二分查找 時間複雜度 o(LogN)

因此該解決方法的時間複雜度NlogN

空間複雜度 N