Java數據結構與算法（第七章高級排序1）

希爾排序

        希爾排序是計算機科學家Donald L.Shell 而得名，他在1959年發現了希爾排序算法。希爾排序基於插入排序，可是增長了一個新的特性，大大提升了插入排序的執行效率。

    插入排序：複製的次數太多

        因爲希爾排序是基於插入排序的，因此須要回顧下「插入排除」。在插入排除執行的一半的時候，標記符左邊這部分數據項都是排過序的（這些數據之間是有序的），而記右邊的數據項沒有排過序。這個算法取出標記符所指的數據項，把它存儲在一個臨時的變量。接着，從剛剛被移除的數據項的左邊第一個單元看是，每次把有序的數據項向右移動一個單元，直到存儲在臨時變量裏的數據項可以有序回插。

        下面是插入排序帶來的問題。假設一個很小的數據項在很靠近右端的位置上，這裏原本應該是值比較大的數據項所在的位置。把這個小數據項移動到在左邊的正確位置上，全部的中間數據項（這個數據項原來所在的位置和它應該移動到的位置之間的數據項）都必須向右移動一位。這個步驟對每個數據項都執行了將近N次的複製。雖不是全部數據項都必須移動N個位置可是數據項平均移動了N/2個位置，這就執行了N次N/2個移位，總共是N²/2次複製。所以，插入排序的執行效率是O(N²)。

        若是能以某種方式沒必要一個一個地移動全部中間的數據項，就能把較小的數據項移動到左邊，那麼這個算法的執行效率就會有很大的改進。

n-增量排序

        希爾排序經過加大插入排序中元素之間的間隔，並在這些有間隔的元素中進行插入排序，從而是數據項能大跨度地移動。當這些數據項排過一趟序後，希爾排序算法減少數據項的間隔在進行排序，依次進行下去。進行這些排序時數據項之間的間隔被稱爲增量，而且習慣上用字母h來表示。圖7.1顯示了增量爲4時對包含10個數據項的數組進行排序的第一個步驟的狀況。在0、4和8號位置上的數據項已經有序了。

圖 7.1  4-增量排序0、四、和8號數據項

            當對0、4和8號數據項完成排序以後，算法向右移一步，對一、5和9號數據項進行排序。這個排序過程持續進行，直到全部的數據項都已經完成了4-增量排序，也就是說全部間隔爲4的數據項之間都已經排列有序。這個過程如圖7.2所示（使用更爲簡潔形象的圖例表示）。

            在完成以4位增量的希爾排序以後，數組能夠當作是由4個子數組組成：（0、四、8），（一、五、9），（二、6）和（三、7），這四個子數組內分別是徹底有序的。這些子數組相互交錯着排列，然而彼此獨立。

圖7.2 完整的以4爲增量的一趟排序

            注意，在這個例子中，在完成以4爲增量的希爾排序後，素有元素離它在最終有序序列中的位置相差都不到兩個單元。這就是數組「基本有序」的含義，也正是希爾排序的奧祕所在。經過建立這種交錯的內部有序的數據項集合，把完成排序所必需的工做量降到了最小。

            插入排序對基本有序的數組排序是很是有效的。若是插入排序只須要把數據項移動一位或者兩位，那麼算法大概須要O(N)時間。這樣，當數組完成4-增量排序以後，能夠進行普通的插入排序，即1-增量排序。4-增量排序和1-增量排序結合起來應用，比前面不執行4-增量排序而僅僅應用普通的插入排序要快得多。

減少間隔

            上面已經演示了以4爲初始間隔對包含10個數據項的數組進行排序的狀況。對於更大的數組，開始的間隔也應該更大。而後間隔不斷減少，直到間隔變成1。

            舉例來講，含有1000個數據項的數組可能先以364爲增量，而後以121爲增量，以40爲增量，以13爲增量，以4爲增量，最後以1爲增量進行希爾排序。用來造成間隔的數列（在本例中爲364,121,40,13,4,1）被稱爲間隔序列。這裏所表示的間隔序列由Knuth提出，此序列是很經常使用的。數列以逆向的形式從1開始，經過遞歸表示

h = 3*h+1

來產生，初始值爲1。表7.1的前兩欄顯示了這個公式產生的序列。

表7.1 Knuth間隔序列

            還有一些其餘的方法也能產生間隔序列；後面會講到這個問題。首先，來研究使用Knuth序列進行希爾排序的狀況。

            在排序算法中，首先在一個短小的循環中使用序列的生成公式計算出最初的間隔。h值最初被賦爲1，而後應用公式h=3*h+1生成序列，一、四、1三、40、12一、364，等等。當間隔大於數組大小的時候這個過程中止。對於一個含有1000個數據項的數組，序列的第七個數字，1093就太大了。所以，使用序列的第六個數字做爲最大的數字來開始這個排序過程，做364-增量排序。而後，每完成一次排序例程的外部循環，用前面提供的此公式的倒推式來減少間隔：

            h = （h-3）/3

            它在表7.1的第三欄中顯示。這個倒推的公式生成逆置的序列 36四、12一、40、1三、四、1從364開始，以每個數字做爲增量進行排序。當數組用1-增量排序後，算法結束。

希爾排序的Java代碼

package com.goaji.shellsort;

public class ArraySh{
    private long[] theArray;
    private int nElems;
    
    public ArraySh(int max){
    theArray = new long[max];
        nElems = 0;
    }
    
    public void insert(long value){
        theArray[nElems] = value;
        nElems++;
    }
    
    public void display(){
        System.out.print("A=");
        for (int i = 0; i < nElems; i++) {
            System.out.print(theArray[i] + " ");
        }
        System.out.println("");
    }
    
    public void shellSort(){
        int inner,outer;
        long temp;
        int h=1;
        while(h<=nElems/3)
            h = h*3+1;
        while(h>0){
            for (outer = 0; outer < nElems; outer++) {
                temp = theArray[outer];
                inner = outer;
                while(inner>h-1 && theArray[inner-h]>=temp){
                    theArray[inner] = theArray[inner-h];
                    inner-=h;
                }
                theArray[inner] = temp;
            }
            h = (h-1)/3;
        }
    }
}

public static void main(String[] args) {
    int maxSize = 10;
    ArraySh arr;
        arr = new ArraySh(maxSize);
    for (int i = 0; i < maxSize; i++) {
        long n = (int)(java.lang.Math.random()*99);
        arr.insert(n);
    }
    arr.display();
    arr.shellSort();
    arr.display();
}

//輸出：
A=26 87 14 50 14 9 53 37 50 83 
A=9 14 14 26 37 50 50 53 83 87

        能夠是maxSize取更大的值，可是也不要太大。對10000個數據項須要將近1分鐘的時間來完成排序；

        儘管希爾排序的算法只須要幾行代碼來實現，可是跟蹤這個算法也不是很簡單的。

其餘間隔序列

        選擇間隔序列能夠稱得上是一種魔法。這裏只討論了公式h=h*3+1生成間隔序列，可是應用其餘間隔序列也取得了不一樣程度的成功。只有一個絕對的條件，就是逐漸減少的間隔最後必定要等於一，所以最後一趟排序是一次普通的插入排序。

希爾排序的效率

        迄今爲止，除了在一些特殊的狀況下，尚未人可以從理論上分析希爾排序的效率。有各類各樣基於試驗的評估，估計它的時間級從O(N³/²)到O(N的7/6次方)。