競賽題解 - Broken Tree(CF-758E)

Broken Tree(CF-758E) - 競賽題解

貪心複習~（好像暴露了什麼算法……）
標籤：貪心 / DFS / Codeforces

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『題意』

給出一棵以1爲根的樹，每條邊有兩個值：p-強度、w-重量。
對於給出的樹，咱們能夠對每條邊進行操做——將它的p、w同時減去相同的值，可是要求 \(p\ge0,w>0\) 。（注意只能減，不能加）
進行操做後，須要使原樹知足：若是 u 是 v 的父親，那麼 u 到 v 的邊的 p 不能小於 以 v 爲根節點的子樹中全部邊的 w 之和。
求出一種方案，使得在知足條件的狀況下，樹的 w 之和最大，輸出這個方案。若是不存在任何方案，輸出-1（Of course 有 SPJ）

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『解析』

簡單地思考一下，對於這道題，葉子節點的p以及與根節點相連的邊的w是沒有用的……
根據這個咱們能夠想出一個思路——從下到上儘量減去重量，求到重量最小的樹；再從上到下貪心地儘量給每條邊加劇量（不超過原重量），獲得答案。比較有趣的是正解好像也是這麼寫的——由於按理來講樣例的解不少，可是個人程序跑出來是同樣的~

「減重量-DFS」

從根節點DFS到葉子節點，而後從葉子節點遞歸獲得整個樹的最小重量解（固然是惟一解）
聲明一下變量：

(1) edg[i] 按照輸入順序給出的第i條邊（從1開始）；
(2) fedg[i] 對應edg[i]，表示修改後的第i條邊；
(3) pnt[i] 表示以i爲根的子樹的最小總重量（知足條件的）；
(4) (u,v) 表示 u,v 之間的邊在輸入時的順序
Tab. edg,fedg 都是結構體，包含元素 wgt,ref 分別表示重量、強度

假設如今是 u點，已經計算出它的兒子 v，邊的編號 id=(u,v)。
首先判斷重量是否合法——若是子樹v的最小重量 pnt[v] 都大於 edg[id].ref 了，那麼就不合法，輸出-1。
不然，顯然若是不考慮 \(edg[id].wgt>0\) ，那麼咱們能夠把 edg[id].ref 降至 pnt[v] —— 那麼咱們就是要在 \(edg[id].wgt>0\) 的狀況下儘量的使 edg[id].ref 小。計算 \(delta\) 表示將 edg[id] 的 wgt 和 ref 同時減去 delta。那麼 \(delta=min\{edg[id].ref-hvy\ ,\ edg[id].wgt-1\}\)，將削減後的值存入 fedg[id] ，最後統計 pnt[u] 。

這樣咱們就求出了最小重量的方案（同時判斷了不存在解的狀況）。

「增重量-Solve」

根據最開始的分析，咱們能夠將與根節點相連的全部邊的 wgt 和 ref 都調至最大（也就是初始值）。
在 Solve() 函數中除了 當前節點u 還附帶一個變量 \(del\)表示u的子樹在最小基礎下的可以增長的最大重量。其實Solve()的本質仍是一個 DFS……可是它的返回值是 以u爲根的子樹中在最小重量的基礎上新增長的重量之和，因此咱們用deltot來記錄這個返回值。

那麼從根節點出發，咱們能夠把 del 看作是正無窮，由於沒有任何限制。
假設如今正在處理 邊(u,v) ，u是父親。
若是當前邊再加上 del 不超過原來的重量，那麼就能夠將它加上，返回 deltot+=del（這裏del就至關於加劇量的機會，而這種狀況就至關於把全部機會用完了）。
不然在給當前邊增長重量後，del還有剩餘——那麼就貪心地把 del 分配到 v 裏去。也就是先給 邊(u,v) 加大到可能的最大值，同時將 del 減去增長的值。可是咱們不能直接將 del 下傳到 v 去，由於可能 v 的子樹在增長 del 的重量後，邊(u,v) 的強度不夠，因此下傳時，咱們進行一個處理—— \(min(del,fedg[id].ref-pnt[v])\)（這裏的pnt[v]其實就是在未對v進行 Solve() 修改時的v的子樹總重）。最後在 Solve() 返回時將 del 減去其返回值，表示用去了這麼多「機會」。

而後就能夠了~

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『源代碼』

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=(int)2e5;
struct GRAPH{
	struct NODE{
		int to,nxt,id;
		NODE(){}
		NODE(int _to,int _nxt,int _id):to(_to),nxt(_nxt),id(_id){}
	}nod[N*2+7];
	int adj[N+7],cnt,siz[N+7];
	GRAPH(){memset(adj,-1,sizeof adj);cnt=0;}
	void AddEdge(int u,int v,int id,bool dir){
		siz[u]++;nod[++cnt]=NODE(v,adj[u],id);adj[u]=cnt;
		if(!dir) AddEdge(v,u,id,true);
	}
}grp;
struct EDGE{
	int u,v;
	long long ref,wgt;
}edg[N+7],fedg[N+7];
int n;
long long pnt[N+7];
long long DFS(int u,int pre){
	long long hvytot=0;
	for(int i=grp.adj[u];i!=-1;i=grp.nod[i].nxt){
		int v=grp.nod[i].to,id=grp.nod[i].id;
		if(v==pre) continue;
		long long hvy=DFS(v,u);
		if(hvy>edg[id].ref){
			printf("-1\n");
			exit(0);
		}
		long long delta=min(edg[id].ref-hvy,edg[id].wgt-1);
		fedg[id].ref=edg[id].ref-delta;
		fedg[id].wgt=edg[id].wgt-delta;
		hvytot+=hvy+fedg[id].wgt;
	}
	return pnt[u]=hvytot;
}
long long Solve(int u,int pre,long long del){ //del:u的子樹在最小基礎下的可以增長的最大重量 
	long long deltot=0;
	for(int i=grp.adj[u];i!=-1;i=grp.nod[i].nxt){
		int v=grp.nod[i].to,id=grp.nod[i].id;
		if(v==pre) continue;
		if(fedg[id].wgt+del<=edg[id].wgt){
			fedg[id].wgt+=del;fedg[id].ref+=del;
			deltot+=del;
			del=0;break;
		}
		else{
			deltot+=edg[id].wgt-fedg[id].wgt;
			del-=edg[id].wgt-fedg[id].wgt;
			fedg[id]=edg[id];
		}
		long long delv=Solve(v,u,min(del,fedg[id].ref-pnt[v]));
		del-=delv;deltot+=delv;
	}
	return deltot;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d%d%d",&edg[i].u,&edg[i].v,&edg[i].wgt,&edg[i].ref);
		fedg[i]=edg[i];
		grp.AddEdge(edg[i].u,edg[i].v,i,false);
	}
	DFS(1,0);
	Solve(1,0,(1ll<<60));
	printf("%d\n",n);
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d %d %lld %lld\n",fedg[i].u,fedg[i].v,fedg[i].wgt,fedg[i].ref);
	return 0;
}

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\(\mathcal{The\ End}\)

\(\mathcal{Thanks\ For\ Reading!}\)

- 若是blog裏面有沒講清楚的……能夠在個人郵箱\(lucky\_glass@foxmail.com\)問我~