後綴自動機的應用

零.前置：

\(1.init:\)初始狀態。

\(2.end:\)結束狀態。

\(3.E:\)結束狀態\(end\)集合。

\(4.fa(s):parent\)樹上\(s\)的父親節點。

\(5.Reg(s):\)節點\(s\)能達到的\(end\)的集合。

\(6.mx(s):\)節點\(s\)所表明的子串的最長長度。

\(7.mn(s):\)節點\(s\)所表明的字串的最短長度。

\(8.Right(s):\)狀態\(s\)出現的右端點集合。

\(9.ST(s):\)節點\(s\)能到達的狀態集合（點數）。

一.後綴自動機的性質：

\(1.Right(s)\subset Right(fa(s))\)

\(2.mn(s) = mx(fa(s))+1\)

\(3.s\)所表明的全部串在母串中出現的次數和每次出現的右端點相同。

\(4.\)後綴自動機的\(parent\)樹是原串的反向前綴樹（把每一個前綴的反串插入到\(Trie\)樹中，而且把沒有分支的鏈合併）。

二.如何求拓撲序：

若\(\exists e(u,v)\) 則 \(mx(u) < mx(v)\)；若\(fa(v)=u\)也能獲得\(mx(u) < mx(v)\)。因此將節點按照\(mx\)數組排序，能夠獲得拓撲序（基排\(O(n)\)）。

三.如何求Right(s)：

若只求大小，能夠按照逆拓撲序遞推；若是還須要求具體節點，須要平衡樹（啓發式合併）/可持久化平衡樹；若是須要動態維護\(|Reg(s)|\)（創建的同時維護），則須要一個數據結構，支持在有根樹上加邊刪邊，求子樹和，由於有根把子樹和轉化成鏈上加減，單點查詢而後\(LCT\)便可。

三.如何求ST(s)：

逆拓撲序遞推，若求本質不一樣，則每一個狀態貢獻1；若相同算屢次，則每一個狀態貢獻\(|Right|\)次。

其餘應用:

\(1.\)求本質不一樣子串數量：\(\sum_{s}mx(s) - mn(s) + 1\)。

\(2.\)求字符串的最小表示：先對\(S+S\)創建\(SAM\)，而後在\(SAM\)上跑，每次貪心走字典序最小的出邊，走\(|S|\)步便可。

\(3.\)求兩個字符串的最長公共子串：對一個串創建\(SAM\)，而後跑匹配，若是失配則跳\(fa\)。

\(4.\)求後綴樹和後綴數組：把反串建\(SAM\)而後\(parent\)樹就是後綴樹，後綴樹上\(dfs\)獲得後綴數組。

\(5.\)字典序\(k\)小子串：求\(ST\)而後相似線段樹二分的去作。

\(6.\)求本質不一樣的子串總長:\(\sum_{s}\sum_{i=mn(s)}^{mx(s)}i\)

\({\color{red}{\text{咕}}}{\color{green}{\text{咕}}}{\color{blue}{\text{咕}}}{\color{brown}{\text{咕}}}{\color{gold}{\text{咕}}}{\color{grey}{\text{咕}}}{\color{purple}{\text{咕}}}{\color{pink}{\text{咕}}}{\color{red}{\text{咕}}}{\color{green}{\text{咕}}}{\color{blue}{\text{咕}}}{\color{brown}{\text{咕}}}{\color{gold}{\text{咕}}}{\color{grey}{\text{咕}}}{\color{purple}{\text{咕}}}{\color{pink}{\text{咕}}}\)