2018研究生數學建模競賽B題-光傳送網建模與價值評估-競賽總結

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2018研究生數學建模競賽B題-光傳送網建模與價值評估-競賽總結

這道賽題是有關通訊方面的賽題,初步讀題,感到第一問和第二問關係不大,第二問和第三問關係也不大,不過第一問和第三問有比較緊密的順承關係.

1-1

第一問主要討論在光纖通訊環境下,與光信號傳輸有關的調製解調的誤碼率問題.在題設條件中,糾前誤碼率(BER)只與信噪比(SNR)有關.所以題目要求咱們創建數學模型描述二者的關係.

對於該問題有兩種思路:

1. 創建機理模型

也就是經過對光纖中的入纖信號,與信號噪聲進行機率描述,而後推導出出纖信號的機率描述,從而經過對機率密度函數的二重積分,直接計算出二者的解析關係.

1. 實驗模型

也就是使用計算機仿真的方式,經過大量的實驗,模擬信號輸入,編碼,噪聲輸入,解碼,計算誤碼率的過程,對誤碼率進行計算.根據大數定律,大量實驗的結果會趨近於第一種思路的機理模型的解.

1. 兩種方法的比較

第一種方法有着更強的數學要求,可是推到的結果顯示,最後的結果是一個正態分佈函數的二重積分的加權和.計算這個函數的積分其實十分困難,仍是要藉助數值計算的工具或者查表.沒法有效的獲得一條表達式.

第二種方法較容易實現,可是在試驗次數較小的狀況下,獲得的曲線會引入較大偏差.形成求解曲線的不平滑.所以獲得平滑的曲線須要花費較大的計算時間.在個人電腦上計算時間大概有半個小時.

在這裏給出一張求解圖.

1-2

第二問主要是對整個傳輸的光路進行建模,要考慮光在線纜中引入的噪聲,光放大器引入的噪聲,光在線纜中的功率衰減等因素,結合上文中算出的一個參數求解傳輸鏈路的段數.

在這裏給出模型和結果.

結果

2-1

第二問彷佛與第一問沒有必然的聯繫,這是一個整數規劃的問題,特別是在第一問中,這個證書規劃很是的純粹,所以能夠直接創建整數規劃的模型,使用相應的求解器進行求解.

咱們將問題直接轉化成了MIP問題,而後使用GUROBI工具進行求解.

轉化成的問題以下圖.

其中Cij 表示 i 節點與 j 節點之間的傳輸容量,可依據節點間的距離選擇相應的傳輸格式,從而判斷傳輸容量的大小。本文認爲,若要使網絡價值最大化,必需要以容量利用率最大爲標準來分配傳輸格式。

λ ij 表示 i 節點與 j 節點之間鏈路的權重,M 爲光傳輸網絡的節點數。
H i ,H j 分別表示 i 節點和 j 節點的人口數。當全部節點的連接狀況由決策
信息R ij 肯定時,目標函數值中相應的未知變量可進一步求出並肯定目標函數值.

約束中限制了網絡鏈接數,和孤立鏈路數量.

值得一題的是孤立鏈路這個約束.

在一開始咱們解出的解以下圖:

能夠看到,獲得的解並非一個連通的圖.可是做爲一個光纖網絡來講,必然要求咱們解出一個連通圖.所以咱們加入了孤立鏈路這個新的約束.

這個約束能夠保證全部組成的集合(全集和空集除外)都與其餘點是連通的.加入當前約束後獲得的解以下圖所示.

對於33條鏈路的是這樣的.

2-2

第二問考慮到中轉節點的問題,最初考慮在第一問的基礎上進行拓展,爲每條路段增長一個分配變量,也就是在這些變量中描述當前路段的資源是否進行分配,分配給誰.

而後經過增長約束條件約束分配必須知足題設需求.可是求解過程發現這樣的求解佔用太多資源.所以咱們考慮將問題轉化成爲了一個層次優化的問題.在描述這個問題前,咱們經過一些數學推導將問題稍做簡化.

首先,中轉通訊的可行性分析.

一條線路進行中轉的可行性,主要是由引入這些中轉是否會帶來目標(網絡價值)的提高判斷的.
若是引入這些中轉能夠將網絡價值進行提高,那麼系統將責無旁貸的引入這些中轉通訊,若是不能,中轉通訊將必定不會被引入.

所以在引入的價值該如何度量呢?

看下圖:

也就是說,當權重保持不變的狀況下. 引入中轉通訊徹底歸結爲節點的人口問題,對於三個節點的判斷來講.當中間點城市的人口數足夠小的狀況下,引入中間節點通訊是有好處的.

下面咱們來進行更加複雜的分析.

當有多個城市須要佔用同一個節點中轉時,節點將爲哪個城市服務的問題.這個問題一樣該從網絡價值的角度分析.就是說咱們要比較爲誰服務能夠得到更多的網絡價值.

可是這個問題就沒有前面的問題那樣純粹了,由於這將變成一個總體性的問題.也是一個規劃問題.爲了有效解決這個問題,本文件問題描述爲一個兩層的最優化問題的嵌套.

頂層的最優化問題負責尋找最優的網絡路徑,也就是像問題2-1同樣的規劃問題.第二個最優化問題在上層給出的路徑的基礎上尋找一個最優化的網絡配置,配置最優化的中轉節點狀況.

在這種狀況下,咱們本文采用兩層的架構,第一層使用遺傳算法做爲框架,第二層使用約束式求解器GUROBI.

2-3 第三問是自由式的問題,所以在這裏不作分享

3

第三問因爲太直接,沒有太好的方法進行求解,因此直接上了遺傳算法.
沒有什麼有效的數學模型能夠將問題化簡,你們有興趣能夠直接看個人代碼.

代碼:

問題求解的正確性我尚未做進一步的考證,
在這裏發表一些想法只作討論用.
代碼我已經上傳到了github: https://github.com/zangzelin/2018-Graduate-Mathematical-Modeling-Competition-B
但願以爲有幫助的同窗,star 一下

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# 2018研究生數學建模競賽B題-光傳送網建模與價值評估-競賽總結

這道賽題是有關通訊方面的賽題,初步讀題,感到第一問和第二問關係不大,第二問和第三問關係也不大,不過第一問和第三問有比較緊密的順承關係.

1-1

第一問主要討論在光纖通訊環境下,與光信號傳輸有關的調製解調的誤碼率問題.在題設條件中,糾前誤碼率(BER)只與信噪比(SNR)有關.所以題目要求咱們創建數學模型描述二者的關係.

對於該問題有兩種思路:

1. 創建機理模型

也就是經過對光纖中的入纖信號,與信號噪聲進行機率描述,而後推導出出纖信號的機率描述,從而經過對機率密度函數的二重積分,直接計算出二者的解析關係.

1. 實驗模型

也就是使用計算機仿真的方式,經過大量的實驗,模擬信號輸入,編碼,噪聲輸入,解碼,計算誤碼率的過程,對誤碼率進行計算.根據大數定律,大量實驗的結果會趨近於第一種思路的機理模型的解.

1. 兩種方法的比較

第一種方法有着更強的數學要求,可是推到的結果顯示,最後的結果是一個正態分佈函數的二重積分的加權和.計算這個函數的積分其實十分困難,仍是要藉助數值計算的工具或者查表.沒法有效的獲得一條表達式.

第二種方法較容易實現,可是在試驗次數較小的狀況下,獲得的曲線會引入較大偏差.形成求解曲線的不平滑.所以獲得平滑的曲線須要花費較大的計算時間.在個人電腦上計算時間大概有半個小時.

在這裏給出一張求解圖.

1-2

第二問主要是對整個傳輸的光路進行建模,要考慮光在線纜中引入的噪聲,光放大器引入的噪聲,光在線纜中的功率衰減等因素,結合上文中算出的一個參數求解傳輸鏈路的段數.

在這裏給出模型和結果.

結果

2-1

第二問彷佛與第一問沒有必然的聯繫,這是一個整數規劃的問題,特別是在第一問中,這個證書規劃很是的純粹,所以能夠直接創建整數規劃的模型,使用相應的求解器進行求解.

咱們將問題直接轉化成了MIP問題,而後使用GUROBI工具進行求解.

轉化成的問題以下圖.

其中Cij 表示 i 節點與 j 節點之間的傳輸容量,可依據節點間的距離選擇相應的傳輸格式,從而判斷傳輸容量的大小。本文認爲,若要使網絡價值最大化,必需要以容量利用率最大爲標準來分配傳輸格式。

λ ij 表示 i 節點與 j 節點之間鏈路的權重,M 爲光傳輸網絡的節點數。
H i ,H j 分別表示 i 節點和 j 節點的人口數。當全部節點的連接狀況由決策
信息R ij 肯定時,目標函數值中相應的未知變量可進一步求出並肯定目標函數值.

約束中限制了網絡鏈接數,和孤立鏈路數量.

值得一題的是孤立鏈路這個約束.

在一開始咱們解出的解以下圖:

能夠看到,獲得的解並非一個連通的圖.可是做爲一個光纖網絡來講,必然要求咱們解出一個連通圖.所以咱們加入了孤立鏈路這個新的約束.

這個約束能夠保證全部組成的集合(全集和空集除外)都與其餘點是連通的.加入當前約束後獲得的解以下圖所示.

對於33條鏈路的是這樣的.

2-2

第二問考慮到中轉節點的問題,最初考慮在第一問的基礎上進行拓展,爲每條路段增長一個分配變量,也就是在這些變量中描述當前路段的資源是否進行分配,分配給誰.

而後經過增長約束條件約束分配必須知足題設需求.可是求解過程發現這樣的求解佔用太多資源.所以咱們考慮將問題轉化成爲了一個層次優化的問題.在描述這個問題前,咱們經過一些數學推導將問題稍做簡化.

首先,中轉通訊的可行性分析.

一條線路進行中轉的可行性,主要是由引入這些中轉是否會帶來目標(網絡價值)的提高判斷的.
若是引入這些中轉能夠將網絡價值進行提高,那麼系統將責無旁貸的引入這些中轉通訊,若是不能,中轉通訊將必定不會被引入.

所以在引入的價值該如何度量呢?

看下圖:

也就是說,當權重保持不變的狀況下. 引入中轉通訊徹底歸結爲節點的人口問題,對於三個節點的判斷來講.當中間點城市的人口數足夠小的狀況下,引入中間節點通訊是有好處的.

下面咱們來進行更加複雜的分析.

當有多個城市須要佔用同一個節點中轉時,節點將爲哪個城市服務的問題.這個問題一樣該從網絡價值的角度分析.就是說咱們要比較爲誰服務能夠得到更多的網絡價值.

可是這個問題就沒有前面的問題那樣純粹了,由於這將變成一個總體性的問題.也是一個規劃問題.爲了有效解決這個問題,本文件問題描述爲一個兩層的最優化問題的嵌套.

頂層的最優化問題負責尋找最優的網絡路徑,也就是像問題2-1同樣的規劃問題.第二個最優化問題在上層給出的路徑的基礎上尋找一個最優化的網絡配置,配置最優化的中轉節點狀況.

在這種狀況下,咱們本文采用兩層的架構,第一層使用遺傳算法做爲框架,第二層使用約束式求解器GUROBI.

2-3 第三問是自由式的問題,所以在這裏不作分享

3

第三問因爲太直接,沒有太好的方法進行求解,因此直接上了遺傳算法.
沒有什麼有效的數學模型能夠將問題化簡,你們有興趣能夠直接看個人代碼.

代碼:

問題求解的正確性我尚未做進一步的考證,
在這裏發表一些想法只作討論用.
代碼我已經上傳到了github: https://github.com/zangzelin/2018-Graduate-Mathematical-Modeling-Competition-B 但願以爲有幫助的同窗,star 一下