【BZOJ-3672】購票 樹分治 + 斜率優化DP

3672: [Noi2014]購票

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Description

 今年夏天，NOI在SZ市迎來了她30週歲的生日。來自全國 n 個城市的OIer們都會從各地出發，到SZ市參加此次盛會。

       全國的城市構成了一棵以SZ市爲根的有根樹，每一個城市與它的父親用道路鏈接。爲了方便起見，咱們將全國的 n 個城市用 1 到 n 的整數編號。其中SZ市的編號爲 1。對於除SZ市以外的任意一個城市 v，咱們給出了它在這棵樹上的父親城市 f _v  以及到父親城市道路的長度 s _v。

從城市 v 前往SZ市的方法爲：選擇城市 v 的一個祖先 a，支付購票的費用，乘坐交通工具到達 a。再選擇城市 a 的一個祖先 b，支付費用併到達 b。以此類推，直至到達SZ市。

對於任意一個城市 v，咱們會給出一個交通工具的距離限制 l _v。對於城市 v 的祖先 a，只有當它們之間全部道路的總長度不超過 l _v  時，從城市 v 才能夠經過一次購票到達城市 a，不然不能經過一次購票到達。對於每一個城市 v，咱們還會給出兩個非負整數 p _v,q _v  做爲票價參數。若城市 v 到城市 a 全部道路的總長度爲 d，那麼從城市 v 到城市 a 購買的票價爲 dp _v+q _v。

每一個城市的OIer都但願本身到達SZ市時，用於購票的總資金最少。你的任務就是，告訴每一個城市的OIer他們所花的最少資金是多少。

Input

第 1 行包含2個非負整數 n,t，分別表示城市的個數和數據類型（其意義將在後面提到）。輸入文件的第 2 到 n 行，每行描述一個除SZ以外的城市。其中第 v 行包含 5 個非負整數 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分別表示城市 v 的父親城市，它到父親城市道路的長度，票價的兩個參數和距離限制。請注意：輸入不包含編號爲 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分別描述的是城市 2 到城市 n。

Output

輸出包含 n-1 行，每行包含一個整數。其中第 v 行表示從城市 v+1 出發，到達SZ市最少的購票費用。一樣請注意：輸出不包含編號爲 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150

HINT

 

對於全部測試數據，保證 0≤p_v≤10⁶，0≤q_v≤10¹²，1≤f_v<v；保證 0<s_v≤l_v≤2×10¹¹，且任意城市到SZ市的總路程長度不超過 2×10¹¹。

輸入的 t 表示數據類型，0≤t<4，其中：

當 t=0 或 2 時，對輸入的全部城市 v，都有 f_v=v-1，即全部城市構成一個以SZ市爲終點的鏈；

當 t=0 或 1 時，對輸入的全部城市 v，都有 l_v=2×10¹¹，即沒有移動的距離限制，每一個城市都能到達它的全部祖先；

當 t=3 時，數據沒有特殊性質。

n=2×10^5

Source

Solution

樹上斜率優化.

首先方程很好想..$f[x]=min(f[x],f[y]+(Dist[x]-Dist[y])*p[x]+q[x]) y是x的祖先$

這樣也很容易想到斜率優化，主要的問題是，序列上的斜率優化利用的是單調隊列，由於每一個點只可能被插入刪除一次，因此均攤複雜度是$O(1)$的。

可是樹上的並不能達到這樣...因此考慮如何維護這樣的凸殼。

考慮樹分治，不過和以往的樹分治不一樣..有根樹分治？ 有種相似CDQ分治的思想。

分治一棵以$x$爲根的子樹，切當前重心爲$root$，首先對包含$x$的子樹進行分治，使得$x--root$這段的$dp$值都獲得更新。

而後考慮對剩下的子樹中的點的影響，將剩下子樹中的點所有提取出來，按照能到達的距離排序，而後按着這個順序將$root--x$的點插入並維護凸包，對於下面這些點，在凸包上二分更新答案。

這樣就處理完了$x--root$的路徑上的$dp$對其他點的影響，而後對其他子樹繼續點分下去便可。

這樣的複雜度是$O(Nlog^{2}N)$的...

xiaoyimi以前有過一種$O(Nlog^{3}N)$的樹鏈剖分的作法...我並非很會...在某次模擬時比這種方法還要快一些...

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long 
inline LL read()
{
    LL x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 200010
 
 
int N,T;
LL l[MAXN],p[MAXN],q[MAXN];
struct EdgeNode{
    int next,to; LL dis;
}edge[MAXN<<1];
int cnt=1,head[MAXN];
inline void AddEdge(int u,int v,LL w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].dis=w;}
inline void InsertEdge(int u,int v,LL w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
 
LL Dist[MAXN],dp[MAXN];
int fa[MAXN];
inline void DFS(int now,int last)
{
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last) {
            Dist[edge[i].to]=Dist[now]+edge[i].dis;
            fa[edge[i].to]=now;
            DFS(edge[i].to,now);
        }
}
 
int size[MAXN],mx[MAXN],root,Sz,visit[MAXN];
inline void Getroot(int now,int last)
{
    size[now]=1,mx[now]=0;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to]) {
            Getroot(edge[i].to,now);
            size[now]+=size[edge[i].to];
            mx[now]=max(mx[now],size[edge[i].to]);
        }
    mx[now]=max(mx[now],Sz-size[now]);
    if (mx[now]<mx[root]) root=now;
}
 
int o[MAXN],tot;
inline bool cmp(int x,int y) {return Dist[x]-l[x]>Dist[y]-l[y];}
inline void Dfs(int now,int last)
{
    o[++tot]=now;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to])
            Dfs(edge[i].to,now);
}
 
inline double slope(int x,int y) {return (double)(dp[x]-dp[y])/(double)(Dist[x]-Dist[y]);}
 
int stack[MAXN],top;
double k[MAXN];
inline void Insert(int x)
{
    while (top>1 && slope(x,stack[top])>slope(stack[top],stack[top-1])) top--;
    stack[++top]=x; k[top]=-slope(x,stack[top-1]);
}
 
inline void Divide(int x)
{
     
//  printf("Divide  %d  \n",x);
     
    if (Sz<=1) return;
    root=0; Getroot(x,0); int now=root;
     
    for (int i=head[fa[now]]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to==now && !visit[edge[i].to]) {
            visit[now]=1;
            Sz=size[x]-size[now];
            Divide(x);
            break;
        }
     
    for (int i=fa[now]; i!=fa[x]; i=fa[i]) 
        if (Dist[now]-Dist[i]<=l[now])
            dp[now]=min(dp[now],dp[i]+(Dist[now]-Dist[i])*p[now]+q[now]);
     
    tot=0;
     
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now] && !visit[edge[i].to])
            Dfs(edge[i].to,now);
     
    sort(o+1,o+tot+1,cmp);
     
    top=0;
     
    for (int i=1,j=now; i<=tot; i++) {
        for ( ; j!=fa[x] && Dist[j]>=Dist[o[i]]-l[o[i]]; j=fa[j]) Insert(j);
        if (top==1) {
            if (Dist[o[i]]-Dist[stack[top]]<=l[o[i]])
                dp[o[i]]=min(dp[o[i]],dp[stack[top]]+(Dist[o[i]]-Dist[stack[top]])*p[o[i]]+q[o[i]]);
        } else {
            int ot=min(top,upper_bound(k+2,k+top+1,-p[o[i]])-k-1);
            if (Dist[o[i]]-Dist[stack[ot]]<=l[o[i]])
                dp[o[i]]=min(dp[o[i]],dp[stack[ot]]+(Dist[o[i]]-Dist[stack[ot]])*p[o[i]]+q[o[i]]); 
        }
    }
     
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next) 
        if (edge[i].to!=fa[now] && !visit[edge[i].to]) {
            visit[edge[i].to]=1;
            Sz=size[edge[i].to];
            Divide(edge[i].to);
        }
     
}
 
 
 
int main()
{
    N=read(),T=read();
    for (int i=2; i<=N; i++) {
        int a=read(),b=read(); p[i]=read(),q[i]=read(),l[i]=read();
        InsertEdge(i,a,b);
    }
    DFS(1,0);
     
    for (int i=2; i<=N; i++) dp[i]=(1LL<<60);
    Sz=mx[root=0]=N;
    Divide(1);
     
    for (int i=2; i<=N; i++) printf("%lld\n",dp[i]);
     
    return 0;
}