算法小專欄：動態規劃（一）

時間 2019-11-08

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標籤：「算法」「DP策略」「動態規劃」
做者： MrLiuQ
審校： QiShare團隊php

本篇將介紹動態規劃相關知識。html

1、簡介

動態規劃（Dynamic Programming，簡稱DP）。git

它的核心思想是把一個複雜的大問題拆成若干個子問題，經過解決子問題來逐步解決大問題。github

注意：使用動態規劃思想有個前提：當且僅當每一個子問題都是離散的（即每一個子問題都不依賴於其餘子問題時），才能使用動態規劃。算法

2、動態規劃之「0-1揹包問題」

如今有這麼一個場景，「你」是一名「小偷」，你帶了個包去「偷東西」，。數組

條件1：每一個商品只有一個，要麼拿，要麼不拿。（0-1揹包問題）條件2：你最多拿得動4kg的東西。（固定大小，可不裝滿）微信

商品	價格	重量
商品A	3000元	4kg
商品B	2000元	3kg
商品C	1500元	1kg
商品D	2000元	1kg

在有限的重量條件下，如何**「偷」**，賺的錢最多？spa

方案一：簡單算法（可行，不推薦）

暴力枚舉出全部商品的排列組合，捨去全部超出重量要求的組合，從中挑一個最大的。.net

可行，可是太慢了，每多一件商品都會多2倍的組合。3d

方案測評：時間複雜度 O(2ⁿ)，超級超級慢，不推薦。

方案二：貪心算法（不可行）

用上篇介紹的貪心算法計算。

經過某個貪心策略（拿最貴的、拿性價比最高的商品）來得出近似解。

方案測評：這種方案接近最優解，是近似解，但不必定是最優解，故不可行。

方案三：動態規劃（可行，推薦）

原理：先解決子揹包最優，再解決大揹包最優。

先繪製出一張表格，一會咱們一列一列慢慢填。（PS：體會動態規劃的算法過程）

表格：（實際上對應了一個二維數組）

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A
商品B
商品C
商品D

先解讀一下這個表格，行：表明了商品行（對應i），列：表明了重量列（對應j），格：表明當前的已有的商品、已有重量下所能拿的最大價值。

好了，下面咱們開始一列一列的填：

第一行，只有商品A（價值：3000，重量：4kg）

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B
商品C
商品D

第二行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）與商品B（價值：2000，重量：3kg）

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B	/
商品C
商品D

第三行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）、商品B（價值：2000，重量：3kg）商品C（價值：1500，重量：1kg）

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B	/
商品C	1500
商品D

第四行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）、商品B（價值：2000，重量：3kg）、商品C（價值：1500，重量：1kg）、商品D（價值：2000，重量：1kg）

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B	/
商品C	1500
商品D	2000

你們有沒有發現，這裏填寫每一個表格時的算法可表示爲：

對應行的商品的重量超過當前子揹包的重量，就取上一行單元格的值，商品的重量能裝下當前子揹包，則取下面二者的較大值：

上一個單元格的值（cell[i-1][j]）

當前商品的價值 + 剩餘空間的價值（cell[i-1][j-當前商品的重量所對應的列號]）

下面填第二列：

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg
商品A	/	/
商品B	/	/
商品C	1500	1500
商品D	2000	3500

第三列：

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg
商品A	/	/	/
商品B	/	/	2000
商品C	1500	1500	2000
商品D	2000	3500	3500

第四列：

商品\ 子揹包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/	/	/	3000
商品B	/	/	2000	3000
商品C	1500	1500	2000	3500
商品D	2000	3500	3500	4000

於此反覆判斷便可，這樣每一個單元格都是最優解，經過解決子問題，推導出最終最優解。這就是動態規劃，是否是很簡單呢？

轉換成Python代碼：

def package_dp(a, b, flag, n):
    c = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    for j in range(n):
        c[0][j] = 0

    for i in range(n):
        c[i][0] = 0
        for j in range(n):
            if b[i]>flag[j]:
                c[i][j] = c[i-1][j]
            else:
                temp1 = a[i] + c[i-1][j-b[i]]
                temp2 = c[i-1][j]
                c[i][j] = max(temp1,temp2)
            print c[i][j]
        print ("")
    return c

price = [0, 3000, 2000, 1500, 2000]
weight = [0, 4, 3, 1, 1]
flag = [0, 1, 2, 3, 4]

package_dp(price, weight, flag, 5)
複製代碼