你能告訴我一億之內有多少對孿生素數嗎？

時間 2020-07-25 標籤告訴一億之內多少孿生素數

所謂孿生素數，就是相差爲2的素數對，例如3和5,11和13。若是僅僅是100之內的孿生素數，相信大部分人只用數就能數出來，畢竟100之內只有25個素數。可是若是是1000之內呢？100000之內呢？若是像題目中說的同樣，一億之內呢？ios

硬着頭皮數顯然不行了，要解決這個問題，咱們要依賴於編程。算法

要求孿生素數的對數，首先要找到孿生素數，要找到孿生素數，首先要找到素數。C++中有許多找素數的方法，好比基礎的試除法，其代碼以下：編程

bool prime(int n) 
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}

這段代碼比較基礎，也很容易理解。優化

完整程序以下：spa

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,cnt; //cnt記錄孿生素數對數 
bool prime(int n)  //試除法篩素數 
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(prime(i)&&prime(i+2))  //判斷是否知足孿生素數定義 
        {
            cnt++;
        }
    }
    printf("%d\n",cnt);return 0;
}

一切都很順利的進行了，咱們不由暗想：翻譯

孿生素數，就這？？？

然而，當輸入「100000000」時，奇怪的事情發生了，答案久久沒有出如今小黑板上，只有光標在閃動着寂寞的白光，宛若孤獨而無人陪伴的我。3d

這使人疑惑，因而我關閉了窗口，從新運行，並輸入了較小的數。答案几乎是在敲回車後的一剎那出如今小黑板上。code

這說明程序沒有問題，輸入「100000000」答案遲遲不出現，只有一個可能——程序在運算結果。blog

既然如此，那咱們能作的就只有等待。博客

終於，在不知多久以後，小黑板上終於出現了咱們所但願看到的東西——440312。

雖然獲得告終果，但比起這個，咱們更想知道它到底算了多久，因而我在程序中加入了從百度抄來的計時程序，以下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<time.h>  //頭文件 
using namespace std;
clock_t start,finish;  //定義始終 
double duration;  //定義時間 
int n,cnt; 
bool prime(int n)  
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    start=clock();  //在程序開始運行時開始計時，注意，若將這句話加在輸入以前，會把輸入數據的時間記入，影響結果 
    for(int i=2;i<=n-2;i++)
    {
        if(prime(i)&&prime(i+2))  
        {
            cnt++;
        }
    }
    finish=clock();  //結束計時 
    duration=(double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC;  //計算時間 
    printf( "%f seconds\n",duration);  //輸出時間    
    printf("%d\n",cnt);return 0;
}

當輸入「10000」，運算時間爲0.002000s，輸入「1000000」，運算時間爲0.310000s，兩次運算時間並無差不少。

但輸入「100000000」，在又一次漫長的等待後，小黑板上出現了驚人的149.797000s，是計算1000000之內的孿生素數對數所用時間的約483倍。

這可怕的數字令咱們感到恐懼，如果數據範圍再大一些，試除法豈不是要算一年!

看來數據太大，用試除法求解是行不通了，咱們須要的是效率更高的算法。

提到高效算法，聰明的你必定能想到Eratosthenes篩選法，翻譯成人話就是埃氏篩。

埃氏篩的基本思想：素數的倍數必定不是素數。先假設全部數都是素數，從小到大枚舉每個素數x，把x的倍數都標記爲非素數。當從小到大掃描到一個數x時，若它還沒有被標記，則它不能被2~x-1之間的任何數整除，該數就是素數。（對整數1特殊處理）

埃氏篩代碼以下：

void primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof(v)); //合數標記 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i])  continue;    
        cout<<i<<endl;  //i是素數 
        for(int j=i;j<=n/i;j++)
        {
            v[i*j]=1;
        }      
    }
}

埃氏篩的時間複雜度是O（nloglogn），效率很是接近線性，是一種經常使用的素數篩法。然而，埃氏篩會對合數進行重複標記，即便是優化以後，其根本緣由是算法不能惟一肯定產生合數的方式。據此，咱們在生成一個須要標記的合數時，每次只向現有的數乘上一個質因子，而且讓它是這個合數的最小質因子。這至關於讓合數的質因子從大到小累積。具體來講，咱們採用以下的篩法：

int v[maxn],prime[maxn]; 
void primes (int n) //用線性篩找素數 
{
    memset(v,0,sizeof(v)); //最小質因子 
    m=0; //素數數量 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i]) //i是質數 
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
                            //給當前的數i乘上一個質因子 
        for(int j=1;j<=m;j++)
        { 
                            //i有比prime[j]更小的質因子，或者超出n的範圍 
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)  break;
                            //prime[j]是合數i*prime[j]的最小質因子 
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}

這即是線性篩。每一個合數只會被它的最小質因子篩一次，時間複雜度爲O（N）。

篩法介紹完了，求孿生素數對的程序也就不難寫了，只須要判斷與一個素數相差2的數是否爲素數便可。這個任務交給讀者自行完成。

下面我簡要說一下測評結果。

這是使用線性篩求對數並輸出孿生素數對的運行結果，總共跑了173.793000s，若僅僅輸出對數，只須要1.410000s，比試除法快了近107倍。

埃氏篩也不敢示弱，跑出了178.203000s和3.105000s的不俗成績。

（順便一提，用試除法求孿生素數對，若是要輸出孿生素數是什麼，它須要跑約328s）

相比於基礎的試除法，這兩種算法的效率都高得沒話說。

正所謂，永恆與剎那間，只隔着個人算法。既然有算法能幾秒內解決問題，那爲何不用呢？多節約出幾分鐘，不就能多聽幾首銀臨的歌了嗎。

因此，下次有個要求素數的題，嘗試用埃氏篩和線性篩吧。

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你能告訴我一億之內有多少對孿生素數嗎？

孿生素數，就這？？？

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