HNOI2009有趣的數列

首先next_permutation打表，發現Cat規律。

其實考試的時候這麼作沒什麼問題，並且能夠節省異常多的時間，那麼如今咱們來想一下why。

首先我拿模型法解釋一下，咱們把2n個數當作2n我的，既然分紅奇數和偶數兩種比較方式，那麼我讓他們站成兩排，每一排有n我的，這n我的的身高遞增，且，第二排的人必須高於第一排，那麼這個問題就變成了：

有2n個身高互不相同人站成兩排，每排n人，要求右邊的人比左邊的人高，後面的人比前面的人高，問我有幾種排隊方案。

這是一個Cat的模型，既然先站哪一排無所謂，我就讓某個位置必須先站上第一排的人再站上第二排的人，若是我將站在第一排看作是0，站在第二排看作是1，那麼既然每一個1前面必定有一個比他矮的人，則必定有一個0，那麼就又轉化成了求0，1序列，這是一個更加經典的Cat模型。（若是這裏理解不了能夠上網搜搜）

而後再拿折線法解釋一下，咱們把偶數項看作x軸上的數，由於他們是單增的，把奇數項看作y軸上的數，因爲奇數項小於與之對應偶數項，也就是不能越過y=x，函數的變化就好像只能向右走和向上走。這個問題在上一篇博客中有詳細的解法。

因此咱們明白它是讓咱們求Cat，但是P不必定是質數，逆元的問題很噁心。

因此咱們採用惟一分解來作。首先線性篩篩出2n之內的全部素數，而後咱們枚舉每一個素數，對n執行如下操做：將n不斷的除以這個素數，並將商加入s變量，最終s的值就是n！在算術基本定理拆分後，這個素數的指數。舉個例子：

8!=2⁷*3²*5*7，8/2=4，4/2=2，2/2=1，1/2=0。4+2+1+0=7。

20!=2¹⁸……，20/2=10，10/2=5，5/2=2，2/2=1，1/2=0。10+5+2+1+0=18。

你們能夠本身隨便試兩個。

這是爲何呢？（下述i爲質數）首先1~n中含有i這個因子的數有n/i個（1），含有i²這個因子的數有n/i²個（2），……含有i^m這個因子的數有n/i^m個（m）。那麼咱們分層計算貢獻，首先（1）中有n/i個i，加上，（2）中有2*n/i²個i，但不要忘了，咱們在（1）算過每一個數中的一個i，那麼它們的貢獻只有n/i²個i，同理，向後類推，最後n！中i的個數爲∑n/pⁱ，與上述模擬過程一致。

那麼咱們來證實一下複雜度，首先根據小於N的質數約有N/lnN個，咱們第一層枚舉的代價就是O（N/lnN），而後觀察上述過程，咱們的問題規模不斷縮小，如上述二例，都是1/二、1/2的速度在縮小，對於其餘素數相似，咱們取最壞O（log₂N）,那麼總複雜度

O（N/lnN*log₂N），這玩意換換底就是O（N/ln2），1/ln2≈1.44，撇掉，大約O（N），（這是我本身證的，網上目測沒有，若是有異議請指出，應該沒什麼問題吧……）

而後分子加分母減拆完了拿快速冪一乘就完事了。（快速冪並不影響上述複雜度，由於qpow也是O（logk）的，就當常數大了吧）。

（底下代碼有表機，勾掉的調試略多，能夠用來本身見證一下上面那個算法的正確性）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int n,P,/*a[20],*/ans=1;
/*bool check(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i*2-1]>a[i*2]) return 0;
    for(int i=3;i<=n*2;i++)
        if(a[i]<a[i-2]) return 0;
    return 1;
}*/
int prime[6000000],prime_num;
bool v[20050000];
void doprime(){
    for(int i=2;i<=2*n+5;i++){
        if(!v[i]) prime[++prime_num]=i;
        for(int j=1;j<=prime_num&&i*prime[j]<=2*n+5;j++){
            v[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int qpow(int x,int k){
    int val=1;
    for(;k;k>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if(k&1) val=1ll*val*x%P;
    return val%P;
}
int main(){
    //打表找規律系列。。。
/*    while(1){
        ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&P);
    for(int i=1;i<=(n<<1);i++)
        a[i]=i;
    do{
        if(check()) {ans++;
            for(int i=1;i<=2*n;i++)
                cout<<a[i]<<" ";
            cout<<endl;
        }
    }while(next_permutation(a+1,a+1+2*n));
    printf("ANS=%d\n",ans);
    }*/
    scanf("%d%d",&n,&P);
    doprime();
    for(int i=1;i<=prime_num;i++){
        long long s=0;
        for(int j=2*n;j/=prime[i];) s+=j;
    //    cout<<"s1="<<s<<endl;
        for(int j=n;j/=prime[i];) s-=j;
        //cout<<"s2="<<s<<endl;
        for(int j=n+1;j/=prime[i];) s-=j;
    //    cout<<"s3="<<s<<endl;
        ans=1ll*ans*qpow(prime[i],s)%P;
    }
//    cout<<"Okprime"<<endl;
/*    for(int i=1;i<=prime_num;i++)
        cout<<prime[i]<<" ";cout<<endl;*/
/*    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        mulfz(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        mulfm(i);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        mulfm(i);*/
/*    cout<<"OKfenjie"<<endl;
    for(int i=1;i<=prime_num;i++)
            ans=1ll*ans*qpow(prime[i],fz[i]-fm[i])%P;
    cout<<"Okqpow"<<endl;*/
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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這道題取模，下道題高精。