動態規劃算法3——最長上升子序列

今天咱們要講的是最長上升子序列（LIS）。

 

【題目描述】

給定N個數，求這N個數的最長上升子序列的長度。

【樣例輸入】

7

2 5 3 4 1 7 6

【樣例輸出】

4

 

什麼是最長上升子序列？ 就是給你一個序列，請你在其中求出一段不斷嚴格上升的部分，它不必定要連續。

就像這樣：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的兩種選取方案。最長的長度是4.

那麼，怎麼求出它的最大上升子序列長度爲4呢？這裏介紹兩種方法，都是以動態規劃爲基礎的。

 

首先，咱們先介紹較慢（O（n2n2））的方法。咱們記num爲到這個數爲止，最長上升子序列的長度。

這種方法就是每一次尋找「能夠接下去的」，換句話說，設原序列爲a，則

當aj<ai(j<i)aj<ai(j<i)且numj+1>numinumj+1>numi時，numi=numj+1numi=numj+1。

對於每個數，他都是在「能夠接下去」的中，從前面的最優值+1轉移而來。

所以，這個算法是能夠求出正確答案的。複雜度很明顯，外層i枚舉每一個數，內層j枚舉目前i的最優值，即O（n2n2）。

 

那麼，有沒有更快的方法呢？固然有。這回要用到二分。

咱們回想一下，在上面O（n2n2）的程序中，哪些地方看起來比較費時？

沒錯，就是內層用於更新i的循環。由於每一次他都要查找一遍，效率並不高。

回到題目，咱們發現，他只要咱們求長度，因此？

咱們能夠模擬一個棧。

因此每遇到一個比棧頂元素大的數，就放進棧裏，遇到比棧頂元素小的就二分查找前邊的元素，找到一個「最應該被換掉的元素」，用新數去更新前邊的元素。

這個算法不難證實也是正確的。由於前面每一次的枚舉都換成了二分，內層的複雜度從nn降到了log2log2，外層不變。因此總的複雜度是O(nlog2nnlog2n)。

 

接下來，我先給出樸素算法的代碼。

#include<cstdio>
const int MAX=1001;
int a[MAX];
int lis(int x)
{
    int num[MAX];
    for(int i=0;i<x;i++)
    {
        num[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i])
                   num[i]=num[j]+1;
        }
    }
    int maxx=0;
    for(int i=0;i<x;i++)
        if(maxx<num[i])
            maxx=num[i];
    return maxx;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    return !printf("%d\n",lis(n));
}

這個則是二分算法的代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=200001;

int a[MAXN];
int d[MAXN];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    d[1]=a[1];
    int len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
            d[++len]=a[i];
        else
        {
            int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
            d[j]=a[i]; 
        }
    }
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

相似的，咱們能夠經過二分查找中改變「上確界」和「下确界」，以及符號（「<」和「<=」或「>」、「>=」等），求出最長不降低、不上升、嚴格降低子序列等問題。