JavaScript是怎樣編碼數字的[How numbers are encoded in JavaScript]

在JavaScript中全部的數字都是浮點數，本篇文章將介紹這些浮點數在JavaScript內部是怎樣被轉爲64位二進制的。
咱們會特別考慮整數的處理，因此讀完本篇以後，你會理解爲何會有如下結果發生:

> 9007199254740992 + 1
9007199254740992
> 9007199254740992 + 2
9007199254740994

1. JavaScript的數字

JavaScript數字所有是浮點數。 根據 IEEE 754標準中的64位二進制(binary64), 也稱做雙精度規範(double precision)來儲存。從命名中能夠看出，這些數字將以二進制形式，使用64個字節來存儲。這些字節按照如下規則分配：

0 - 51 字節是 分數f（fraction ）
52 - 62 字節是 指數（exponent ）
63 字節 是 標誌位 （sign）

標誌位 （s, sign）	指數（e, exponent ）	分數（f, fraction ）
(1 bit)	(11 bit)	(52 bit)
63	62	51
	52	0

他們按照如下規則表示一個數字: 若是標誌位是0， 表示這個數字爲正數，不然爲負數。粗略來講，分數f用來表示數字的‘數碼’（0-9），指數表示這個數字的‘點’在哪裏。接下來咱們會使用二進制（雖然這並非一般的浮點數表示方式）。並用一個%做爲前綴來標識。雖然JavaScript數字是以二進制保存的，但輸出（打印）時一般是以10進制顯示. 接下來的例子，咱們也會沿用這一規則。

2. 分數f

下表是一種表示非負浮點數的方法:
尾數 (小數點後面的數，significand 或 mantissa ) 以天然數字的形式保存‘數碼’，指數決定須要往左（負指數）或者右（正指數）移多少位。再忽略位數，這個JavaScript數字就是 有理數1.f乘以2p。
譯者注: 這裏指數用p而不是e來表示是由於e是一個偏移量，第三點會詳細說明

好比如下例子:

f = %101, p = 2	Number: %1.101 × 22 = %110.1
f = %101, p = −2	Number: %1.101 × 2−2 = %0.01101
f = 0, p = 0	Number: %1.0 × 20 = %1

2.1 表示一個整數

須要多少位來編碼一個整數呢？ 尾數共有53個數碼，1個在‘點’的前面，52個在後面，若是p=52，咱們就有一個53位的天然數，如今的問題是最高位老是爲1，也就是說咱們不能隨便的使用全部的位。要去掉這個限制，咱們須要2步，首先. 若是須要最高位是0，第二位是1的53位的數字，將p設置爲51，這時分數f最低位變成了‘點’後面的第一個數碼，也就是整數0。按照這個規律，直到指數p=0，分數f=0，這就是數字1的編碼。

	52	51	50	...	1	0	(bits)
p=52	1	f51	f50	...	f1	f0
p=51	0	1	f51	...	f2	f1	f0=0
...	...	...	...	...	...	...	...
p=0	0	0	0	...	0	1	f51=0, etc.

其次，對於完整的53位數字，咱們還須要表示0，咱們將在下一段詳細介紹。
須要注意的是，咱們能夠表示完整的53位整數，由於標誌位是另外儲存的。

3. 指數e

指數佔11位，它能夠表示0-2047（2^11-1）， 爲了支持負指數，JavaScript使用偏移二進制來編碼: 1023表示0，小於它的爲負，大於它的爲正。這就意味着，減去1023才能獲得正常點數字。所以咱們以前使用的變量p就等於e-1023,也就是尾數乘以2^e-1023
例如:

%00000000000     0  →  −1023  (最小的數字)
    %01111111111  1023  →      0
    %11111111111  2047  →   1024  (最大的數字)
                         
    %10000000000  1024  →      1
    %01111111110  1022  →     −1

若是須要一個負數，只須要顛倒一下它的位數，再減一

3.1 特殊的指數

有2個指數是保留位。最小的0，和最大的2047. 指數2047表示無窮大（infinity）和 NaN（非數字）值。IEEE 754標準有不少非數字值， 可是JavaScript把他們都表示爲NaN。指數爲0時有兩個意思。1. 若是分數f也是0，表示這個數字就是0.由於標誌位是單獨存儲的。因此咱們有+0和-0;

而後指數0也能夠用來表示很是小的數字（接近0）。此時分數f必須爲非0，並且，若是這個數字是由%0.f × 2⁻¹⁰²²算出來的，這個表示方式叫作非規範化，而以前咱們討論的表示方式叫規範化。最小的非0正數能夠被規範化爲: %1.0 × 2⁻¹⁰²²。 最大的非規範化數字爲: %0.1 × 2⁻¹⁰²²， 因此，從規範化到非規範化是過渡是平滑的。
譯者注: 規範化就是把小數點放在第一個非零數字的後面

3.2 總結:

(−1)s × %1.f × 2e−1023	normalized, 0 < e < 2047
(−1)s × %0.f × 2e−1022	denormalized, e = 0, f > 0
(−1)s × 0	e = 0, f = 0
NaN	e = 2047, f > 0
(−1)s × ∞ (infinity)	e = 2047, f = 0

當p = e − 1023, 指數的範圍是−1023 < p < 1024

4. 十進制分數

不是全部的十進制分數都可以很是精確的表示, 例如:

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

0.1和0.2都不可以被精確的表示成二進制浮點數。可是這個誤差一般很是很是小，小到不可以被表示出來，加法可使這個誤差變得可見:

> 0.1 + 1 - 1
0.10000000000000009

表示0.1至關於表示一個分數110，難的部分在於分母是10，10素數分解是2*5. 而指數只能分解2，因此沒有辦法獲得5。相同的， 1/3也不能被精確表示成一個十進制分數，它大概能被表示成0.333333。
但相對的。要用十進制表示一個2進制分數倒是永遠可行的，值須要使用足夠的2（每一個10都有1個2）。

%0.001 = 1/8 = 1/2 × 2 × 2 = 5 × 5 × 5/(2×5) × (2×5) × (2×5) = 125/10 × 10 × 10 = 0.125

4.1 對比十進制分數

所以，當你要處理10進制分數，不要直接去比較他們，先想想，它可能會有一個上限，好比有一個上限叫作機器最小數 machine epsilon. 標準的雙精度數的最小數爲 2⁻⁵³.

var epsEqu = function () { // IIFE, keeps EPSILON private
    var EPSILON = Math.pow(2, -53);
    return function epsEqu(x, y) {
        return Math.abs(x - y) < EPSILON;
    };
}();

這個方法能夠修正你的比較結果

> 0.1 + 0.2 === 0.3
false
> epsEqu(0.1+0.2, 0.3)
true

5. 最大的整數

「x 是最大的整數」這句話是什麼意思呢？它的意思是說，任意整數n在 0 ≤ n ≤ x 範圍內都是能夠被表示的。也就是說若是大於x，將沒法表示。好比253 。任何比它小的數字均可以被表示。

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) - 1
9007199254740991
> Math.pow(2, 53) - 2
9007199254740990
但比它大的就不行
> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992

關於253 這個上限，有一些很使人驚奇的表現。咱們將用一些問題來解釋這些現象。你要記住的是，這個上限是分數f的上限，指數e部分其實還有空間。

爲何是53位呢？你有53位來表示數的大小，除去標誌位。可是分數f倒是由52位組成的，這是爲何呢。從前面的文章能夠看出，指數e從第53位開始，它會移動分數f，因此這個53位的數字（除了0）能夠被表示出來，而且有一個特別的數字去表示0（而且分數f也是0）.

爲何最大的數不是2⁵³−1? 一般來講，x位就說明最小數是0，最大值是2^x−1. 好比8位數字最大是255。而在JavaScript裏，最大的分數f確實是2⁵³−1，但2⁵³ 也能夠被表示出來，由於有指數e的幫助。它只要讓分數f等於0，指數e等於53便可。

%1.f × 2^p = %1.0 × 253 = 253

爲何大於2⁵³就不能表示了呢？例如:

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 1  // not OK
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 2  // OK
9007199254740994
> Math.pow(2, 53) * 2  // OK
18014398509481984

2⁵³×2 能夠表示正確，由於指數e還能夠用，乘以2僅僅須要指數e加一，而不影響分數f。因此乘以2的冪不是問題，只要分數f沒有超過上限，那爲何2加2⁵³也能夠表示正確，1卻不能夠呢，咱們擴大一下以前的，加上53 和54位來看看。

	54	53	52	51	50	...	2	1	0	(bits)
p=54	1	f51	f50	f49	f48	...	f0	0	0
p=53		1	f51	f50	f49	...	f1	f0	0
p=52			1	f51	f50	...	f2	f1	f0

看p=53的那一行，它應該是一個JavaScript數字，53位設置成了1，可是由於它的分數f只有52位，而0位必須位0，而只有2⁵³ ≤ x < 254中的偶數數字x能夠被表示。在p=54時，這個空間增長到乘以4，在 2⁵⁴ ≤ x < 255: 中。

> Math.pow(2, 54)
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 1
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 2
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 3
18014398509481988
> Math.pow(2, 54) + 4
18014398509481988

6. IEEE 754 的例外

IEEE 754標準描述了5中例外 ， 當出現這些例外，就沒法算出準確的數字。

1. 無效 : 進行一個無效操做。例如，給一個負數開平方，返回NaN

> Math.sqrt(-1)
NaN

2. 除以0 : 返回正或者負的infinity(無窮大)

> 3 / 0
Infinity
> -5 / 0
-Infinity

3. 溢出(overflow) : 結果太大，沒法表示。這時是指數已經太大， (p ≥ 1024).根據標誌位，正或者負溢出，返回正或者負的infinity（無窮大）。

> Math.pow(2, 2048)
Infinity
> -Math.pow(2, 2048)
-Infinity

4. 潛流（underflow): 結果太接近於0，這時是指數已經過小(p ≤ −1023). 返回一個非規範化的數字，或者0.

> Math.pow(2, -2048)
0

5. 不精確（Inexact）: 一個操做返回不精確的結果 - 有太多有意義的數字須要分數f去存，那就返回一個四捨五入的結果

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
    
> 9007199254740992 + 1
9007199254740992

上面的第三點和第四點是關於指數的，第五點是關於分數f的，第三點和第五點的差異很是小，第五點的第二個例子，咱們已經接近了分數f的最大值（這也能夠算是一個溢出操做）。但根據 IEEE 754只有超過了指數的範圍纔算溢出。

7. 結論

本篇文章中，咱們觀察了JavaScript是怎樣把浮點數存進64位中的。它之因此這麼作是根據 IEEE 754 標準中的雙精度。由於咱們經常忘記，JavaScript對於分母質因分解不只包含2的數字 是沒法精確表示的。好比0.5（1/2），是能夠精確表示的，但0.6（3/5）就不能。咱們很容易忘記一個整數是由標誌位，分數f，指數3部分組成，而後就會面對Math.pow(2, 53) + 2 能夠計算正確，而Math.pow(2, 53) + 1會計算錯誤的問題。

8. 資源和引用

• 「IEEE Standard 754 Floating-Point」 - Steve Hollasch.
• 「Data Types and Scaling (Fixed-Point Blockset)」 in the MATLAB documentation.
• 「IEEE 754-2008」 on Wikipedia

本文也同時是JavaScript 數字系列 , 它包含:

1. JavaScript中的數字顯示
2. JavaScript中的NaN 和 Infinity
3. JavaScript的兩種0