Dijkstra算法（C語言）

 

Dijkstra算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用於計算一個節點到其餘全部節點的最短路徑。主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法是頗有表明性的最短路徑算法，在不少專業課程中都做爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。注意該算法要求圖中不存在負權邊。

 

2.算法描述

1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分紅兩組，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，之後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到所有頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組爲其他未肯定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程當中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每一個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。

2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離爲0。U包含除v外的其餘頂點，即:U={其他頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權值爲∞。

b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（通過頂點k）比原來距離（不通過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重複步驟b和c直到全部頂點都包含在S中。

 

3.算法代碼實現：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM =  10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判斷是否已存入該點到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用過該點
      　　if(dist[i] == MAXINT)    
            　　prev[i] = -1;
 　　     else 
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼 
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true; 
       　　for(int j=1; j<=n; j++)
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在經過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑  
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                   　　prev[j] = u;                    //記錄前驅頂點 
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

 

4.算法實例

先給出一個無向圖

 

 

用Dijkstra算法找出以A爲起點的單源最短路徑步驟以下