歐拉圖的斷定和求法

 作一道Catenyms傷神無數，爲避免此狀況再次發生，在此將歐拉圖的斷定和求法加以總結

注：本篇文章系菜鳥總結，大神們請自行忽略。
歐拉圖的斷定：

1.首先，全部結點必須在同一個圖中。——-》採用並查集斷定

2.對於具備歐拉回路的圖：全部結點的入度和出度都相等，奇數度的結點個數爲0——–》統計斷定

3.對於具備歐拉通路的圖：圖中一個結點的入度比出度大1，一個結點的入度比出度小1，其他結點入度和出度相同。奇數度結點的個數爲2—–》統計斷定

全部不知足以上條件的圖都不是歐拉圖。

歐拉圖的求法：

1.Fleury算法：（下面這段話來自離散課本）

（1）任取v₀∈V(G)，令P₀=v₀.　　

（2）設Pi=v₀e₁v₁e₂…e_iv_i已經行遍，按下面方法來從E(G)-{e₁,e₂,…,e_i}中選取e_i+1：　　　　

（a）e_i+1與v_i相關聯；　　　　

（b）除非無別的邊可供行遍，不然e_i+1不該該爲G_i=G-{e₁,e₂,…,e_i}中的橋。　　

（3）當（2）不能再進行時，算法中止。

這個可能實現起來比較麻煩，由於還須要判斷邊是不是橋。

這個有興趣的話能夠去http://wenku.baidu.com/view/c32d8f49e45c3b3567ec8b40.html看看，要兩個財富點。。窮人下不起

2.套圈法：（下面這段話來自黑書）

歐拉回路：標記1爲待查找狀態古城Euler(i)尋找開始於定點i而且結束與i的歐拉回路，具體步驟以下：

(1)尋找從i出發的環P1P2…Px(P1=Px=i)

(2)標記頂點P1→x爲待查找狀態。

(3)對全部處於待查找狀態的結點Pj遞歸調用Euler(Pj)

將Pj找到的環Q1Q2…Qy插入到P1P2…Px中獲得歐拉回路P1P2…PjQ2…QyPj+1…Px

若是是求歐拉通路，預處理時找到度數爲奇數的兩個結點x和y以及一條從x到y的邊P1P2…Pk(x=P1;y=Pk)，並初始化p[1]=k,p[i]=Pi(1<=i<=k)

這個算法的事件複雜度爲O(m)

僞代碼講解：

Euler(int i,int id)

{

若是點i還有出路未使用

{

找到該出路的目標結點j,該出路的邊的編號k

標記該出路已使用

Euler(j,k);

}

if (id!=-1) ans[top++]=該出路

}

以此圖說明：

首先找到A的出路1，而後到達結點C

找到C的惟一可用出路2，到達A

找到A中可用出路3，到達B

找到B的惟一可用出路4，回到A。

回溯時會依次將歐拉路4321存在ans數組裏，即獲得答案。

 

3.dfs法，來自YY

 

44 bool dfs(int st,int cnt)

45 {

46 int i;

47 if(cnt==n)

48 return 1;

49 for(i=0;i&lt;n;i++)

50 {

51     if(edge[i].st&lt;st||used[i])

52                                 continue;

53          else if(edge[i].st&gt;st)

54                                  return false;

55     used[i]=true;

56     edge_order[cnt]=i;

57     if(dfs(edge[i].en,cnt+1))

58                               return 1;

59     used[i]=false;//回溯判斷是否造成歐拉路徑

60 }

^?

這個很好理解吧，就是深度搜索，直到找到歐拉回路爲止，算法複雜度比套圈什麼的要高一些。推薦套圈。