Comet OJ [Contest #5] 迫真大遊戲

有一個長爲 \(n\) 的環，一個指針從 \(1\) 開始移動，每次指針所在位置有 \(p\) 的機率消失掉， 而後指針向右移動。求每一個點是最後消失的機率。

\(n\leqslant 2\times10^5\)

考慮一個點消失後並不將其從環上移除，只是下次其被消失時不操做，這樣和原問題是等價的。

爲方便推導，設 \(q=1-p\)。設 \(f_n\) 爲環長爲 \(n\) 時，\(1\) 號點最後消失的機率，得：

\[\large\begin{aligned} f_n&=\sum_{i=0}^\infty pq^i(1-q^i)^{n-1}\\ &=p\sum_{i=0}^\infty q^i\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}(-1)^jq^{ij}\\ &=p\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}(-1)^j\sum_{i=0}^\infty q^{i(j+1)}\\ &=p\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}(-1)^j\frac{1}{1-q^{j+1}}\\ \end{aligned} \]

卷積計算便可。得 \(k\) 號點最後消失的機率爲：

\[\large \sum_{i=0}^{k-1}\binom{k-1}{i}p^iq^{k-1-i}f_{n-i} \]

一樣卷積計算便可。