迷「鋪地磚」的數學家
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可以構成平面五重晶格鋪砌的五種凸形磚
每當宗傳明開始「閉關」，謝絕一切會議、邀約時，熟悉他的人就能大致猜出，他又要「憋大招」了。
數學研究以抽象聞名，外行往往難以理解。但是，有些外行看起來自然簡單的問題，卻同樣能讓世界上最聰明的大腦感到束手無策。例如，什麼形狀的瓷磚能夠無縫隙地鋪滿整個平面，就是這樣一個問題。
近日，《美國數學會通報》（Notices of the American Mathematical Society）在2020年第五期上以「重點論文」形式發表了天津大學長江特聘教授宗傳明的一項研究成果，對數學中的經典鋪砌問題他給出了一系列完整的答案。
世紀難題
早在古希臘時期，亞里士多德和阿基米德等先哲就已經發現了一些鋪砌構圖；1619年，開普勒對阿基米德鋪砌取得了完整的分類；1885年，俄國科學家費德洛夫系統地研究了最有規律的鋪砌，也奠定了晶體學理論的基石。
然而，時間到了1916年前後，當德國數學家比伯巴赫首次提出平面全等鋪砌體的分類問題之後，數學家前進的腳步卻似乎慢了下來。
「這樣一個貌似簡單的幾何問題難倒了許多傑出的數學家。」宗傳明說，「比伯巴赫問題的研究歷程異常複雜曲折，在過去的一個世紀中，它曾至少3次被錯誤地宣佈徹底解決。」
在尋找平面全等鋪砌體的過程中，不僅有數學家和計算機專家的系統研究，一些業餘愛好者也做出了驚人的貢獻。例如，1978年，僅有高中數學水平的賴斯夫人就發現了其中的四種，爲此美國數學協會特意用賴斯夫人發現的一種五邊形地板磚鋪砌他們華盛頓總部走廊的一部分。
歷經一個世紀，除三角形和四邊形外，人們共發現了3類六邊形和15類五邊形全等鋪砌體。最後一種五邊形鋪砌體是在2016年被3位歐美數學家藉助計算機發現的。
「毫無進展的6年」之後
數學家總喜歡給自己出難題。從上世紀30年代開始，富特文格勒, 哈堯什和羅賓森等傑出數學家開始研究多重鋪砌問題，並取得了一系列重要成果。通過自然疊加，單重鋪砌可以產生任意重數的鋪砌。但是，數學家想知道的是，除去費德洛夫所發現的四邊形和六邊形外，還有哪些幾何形狀可以通過平移構成二重、三重或多重鋪砌？
這引起了宗傳明的興趣。2006年，他在劍橋大學出版社出版了一本專著，專門介紹了上述三人的成果，並開始組織研究生每週一次定期學習研討他們的相關工作，試圖在分類問題上取得突破。
然而，6年過去了，他們在這個問題上毫無進展。
2012年，三位歐美學者發現了一個可以構成七重晶格鋪砌的八邊形。這一結果再次激起了宗傳明團隊的研究熱情。「我們重新設計了研究方案。一方面，我的研究生利用計算機尋找更好的多重鋪砌實例；另一方面，我利用多年來在堆積理論所積累的成果與思想方法，集中研究較低重數的晶格鋪砌。」
歷經多年的辛勤耕耘，特別是多次的失敗後，2017年前後，宗傳明和他的學生終於迎來了意想不到的收穫。首先，他們證明，除去費德洛夫所發現的兩種多邊形外，任何其它形狀的凸形磚都不可能構成二重，三重或四重的晶格鋪砌；進而，他們發現了一個能構成五重晶格鋪砌的十邊形；而通過逐步實現預先設計的研究方案，宗傳明獨立證明，有且僅有五種凸形磚可以構成平面的五重晶格鋪砌，它們是平行四邊形、中心對稱的六邊形、兩類特殊的八邊形和一類非常特殊的十邊形。
「我們將這些結果先後發佈在科學預印本網站arXiv上。在接下來的幾天裏，我收到了多位歐美同行的祝賀。」宗傳明坦言，國外同行的高度關注，既讓他們感受到收穫的喜悅，也感受到巨大的競爭壓力。
他決定再努力一把，把這個故事講完。
「像做藝術品一樣做數學研究」
非歐幾何得到證實，羅巴切夫斯基死後被正名
到了1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》
「多重晶格鋪砌是多重平移鋪砌最重要的一類，也是最特殊的一類，但是一個完美的理論應該包括所有多重平移鋪砌。」在認真分析瞭解決一般平移多重鋪砌問題所面臨的關鍵困難之後，宗傳明意識到，要徹底解決這樣一個歷史悠久的基本問題，沒有出奇制勝的新思想是不可能的。
經過反覆推敲，他設計了一套系統的研究方案，在每個鋪砌頂點引入了一個組合計數公式。接下來，他組織課題組分塊實施這一方案。
這期間，宗傳明婉拒了所有的會議，評審，報告等活動，集中精力實現他的研究計劃。
2018年，宗傳明和他的博士研究生楊琪終於實現了他的證明方案。他們發現並證明，除去費德洛夫所發現的兩種多邊形外，任何形狀的凸形磚都不可能構成二重，三重或四重的平移鋪砌；五重平移鋪砌一定是五重晶格鋪砌，也只有平行四邊形，中心對稱的六邊形，兩類特殊的八邊形和一類非常特殊的十邊形能夠實現。而後，宗傳明又完整刻畫了能構成六重格鋪砌的所有鋪磚，它們是平行四邊形，中心對稱的六邊形，一類特殊的八邊形和兩類非常特殊的十邊形。
2020年五月，這一系列成果在《美國數學會通報》上刊登。這是近5年來該雜誌發表的唯一一篇國內學者的「重點論文」。論文發表以來受到了柏林大學校長齊格勒，美國數學會前副主席摩根等十多位著名歐美學者的祝賀和稱讚。前不久，中國科學院院士、中國數學會理事長田剛在他的《數學內外》講座中也專門提到了這項工作。
「數學研究有時就像是創作藝術品，我們總是希望能夠完成一件永恆的作品，就像達·芬奇和米開朗基羅的傑作那樣。我們這項成果遠達不到屹立於世界數學之林的高度，但它是一項完整的基本成果，是宏偉的數學殿堂中一塊小小的鋪地磚。」
正如宗傳明所說的那樣，有些東西是永恆的。在優美的數學成果背後，那些數學家立志、奮鬥、失敗、癡迷、頓悟的故事，相信也同樣會爲後人所傳頌。
編輯 ∑Gemini
來源：中國科學報
DOI: https://doi.org/10.1090/noti2075
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