【其它】音階中的數學

1. 動機

　　近期，六歲的女兒在學鋼琴，做爲監工和陪練，這對我倒是個不大不小的困難。由於陪練並非站在一旁嚷嚷着「好好練琴」就行，共同窗習、一塊兒交流纔可以讓小孩有持續的熱情。爲了把這件事變得有趣和高效，我打算從零學一點音樂，首先至少能看懂少兒鋼琴的書吧。想一想咱們這一代的農村學校，連個音樂老師都沒有，更不談什麼音樂知識，能接受到的音樂「薰陶」恐怕也只有大街小巷的那些流行歌曲了。這種粗糲的音樂審美也許已經沒法提升，但「學習基礎樂理」這樣的硬任務應該仍是能夠完成的。

　　好久以前就據說音樂和數學有着千絲萬縷的聯繫，我早就想一睹音樂中的數學之美，但拿起各類正規樂理教材後，內心的落差仍是很大的。不只沒有數學教材的那種乾淨利落，甚至也沒有計算機教材的按部就班，整個就是雜亂概念的堆砌。概念沒有清晰的定義、沒有引入的緣由，概念間複雜的關係更是說不清楚道不明，名詞老是硬生生地放在那裏，你記就是了。也許是由於多年的理工科工做習慣，這樣的書我真是一頁也看不下去，不是看不懂，而是看得不得勁。但靜下心來想一想，我須要的只是對概念來源的一個解釋，哪怕是一個錯誤的解釋，只要我以爲合理就行。

　　固然我也知道，音樂自己仍是感性的東西，它變換莫測、風格多變，甚至連好壞都沒有統一的標準，想用一套理論就把它徹底解釋確定是不現實的。但萬事萬物都都會有一些基本規律存在，人類文明也正是在概括總結中積累起來的，即便是藝術、文學類的創做，也都要知足基本的美學規律。音樂做爲一個普世的文化活動，通過上千年的流傳和演進，在不一樣地域的文明中都創建起了理論體系。但使人驚奇是，在音律的基本要素上，各類體系都殊路同歸，具備很是相似的構成。現在，音律的語言已經趨於一致，人們已經有了統一的描述方式，而且在此之上繼續探索、總結……

　　音律中跟數學關係最直接、最久遠的當屬音階系統了，早在古希臘時期，畢達哥拉斯學派就發現，頻率呈簡單整數比的兩個音聽起來很是協和，而且幾乎全世界的音階系統，都是基於這樣一個簡單的事實創建起來的。下面開始，我就試圖用本身淺薄的數學知識來解釋一下這套體系，固然其中以數學的闡述爲主，而有意淡化樂理的瑣碎概念和曲譜的基本知識，那些在任何一本樂理書上都有詳盡的介紹。最後我還想說，對於樂器演奏技法、甚至音樂理論學習，整理這些東西並沒有大用，用這種思惟去學習音樂也必將學無所成。但對於一個理科生，只是想要一個解釋而已，這不算過度吧，先讓我痛快了再說！

2. 關於聲音

　　首先嚴格說，聲音就是一段聲波，它是物體震動從而帶動的空氣震動。固然，雜亂無章的震動並不能對聽覺提供可識別的特徵信息，具備明顯特徵的聲音在一段時間內應當（或近似）呈現必定的週期性，所謂週期性就是震動以必定頻率重複出現。有三個特徵能夠完整刻畫一段週期聲波，首先是聲波的震動週期，它通常用頻率來表示，在音樂裏還叫音高，人耳能聽到的聲音頻率大概是\(20\sim 20000Hz\)。第二個是聲波的形狀，它構成了每段聲音的獨特感受，音樂上也叫音色，不一樣樂器發出的聲音都很容易辨認，就是由於它們的音色不一樣。第三個就是聲音震動幅度的大小，它直接關係到聲音的大小，也就是咱們日常說的音量。

　　教材上還告訴咱們，每一個週期聲波都是有一系列頻率爲\(f,2f,3f,\cdots\)的正弦波（振幅不一樣）疊加而成的。但我以爲這個說法並不嚴謹，雖然傅里葉級數告訴咱們：「知足必定條件的周期函數能夠有惟一的傅里葉分解」，但這並不能說明：週期聲波自然地就是由那些正弦波疊加而成的。傅里葉級數只是數學工具，它是我的工概念，用來幫助人們分解聲音以便更好的分析。就比如物理上常常把運動按正交軸進行分解同樣，這是用數學工具來分析運動，但並非說：運動自然地就是由兩個方向的運動組成。

　　正弦波也叫簡諧波，它是由簡諧振動產生的聲波，而簡諧振動現實中很是廣泛的一種運動。所謂簡諧振動能夠這樣描述：它在中心兩側運動，加速度（或所受協力）始終指向中心，並與位移\(y\)成正比。彈簧的震動就是典型的簡諧振動，其實現實中大部分物體的自身震動都是由若干簡諧振動組成的，這也說明了爲何週期聲波均可以很好地進行傅里葉分解。在音樂裏，簡諧波也叫純音，純音疊加而成的複合音，若是仍然有明顯的週期，則叫單音，不然叫拍音。單音的傅里葉分解中，週期最大的純音叫作這個單音的基音，其它純音則叫泛音。

　　到這裏還有最後一個問題：爲何簡諧波就是正（餘）弦波，僅僅由於它好看嗎？我只得認可，書本里學的知識已經所有忘記了，如今只好本身再推算一遍。一種直接的方法就是根據簡諧振動的特色，能夠獲得式（1）的常微分方程，從而解得\(y(t)\)是正弦函數。還有一種間接的證實方法，就是觀察如圖的勻速圓周運動。考察運動點\(P\)以及其加速度\(a\)在\(y\)軸的投影，顯然它們成正比關係，具體說就是\(a_y(t)=\dfrac{a}{R}y(t)\)。也就是說簡諧振動正是勻速圓周運動在一維空間的投影，設它的角速度是\(\omega\)（逆時針方向），它的波形天然就是\(R\sin\,\omega t\)。

\[y''(t)=ky(t)\tag{1}\]

3. 十二平均律

　　單絲不成線，單音不成樂，一首動聽的音樂固然要有不一樣音高的單音，才能表達出情緒的波動。咱們也看到，任何一種樂器都能發出多種音高，它們交叉、重疊、依次推動，造成了很是有節奏的韻律。爲了能用不一樣的樂器、在不一樣的時間和場所彈奏一樣一首曲子，須要對每一個音做明肯定義，這就要事先選定一組單音作爲標準，這個組合也被稱爲音階。每種樂器使用的音階不盡相同，但挑選時都遵循着相似的準則，這裏咱們先跳過漫長的歷史過程，來看看如何合理地構建一個通用的音階。

　　首先咱們知道一個常識：人耳對音高的感知知足對數函數，也就是說音高分別爲\(F_a,F_b\)的聲音，咱們感受到的「聲高」比（我捏造的詞）則是\(\dfrac{L_a}{L_b}=\dfrac{\ln F_a}{\ln F_b}\)。設音階中單音的聲高和音高分別是\(L_i,F_i\)，則容易有關係式（2）成立（\(C\)爲某常數）。另外，咱們但願音階裏的「聲高」是逐漸遞增的，也就是說\(L_1,L_2,\cdots,L_n\)成等差數列。由式（2）易知\(L_a-L_b=C\ln F_a/F_b\)，從而\(F_1,F_2,\cdots,F_n\)成等比數列。

\[\dfrac{L_1}{\ln F_1}=\dfrac{L_2}{\ln F_2}=\cdots=\dfrac{L_n}{\ln F_n}\;\Rightarrow\;L_i=C\ln F_i\tag{2}\]

　　把音階設計成等比數列有不少好處，首先是獲得了一套完整、遞進的聲高系統，它能知足各類場合的需求。還有就是等比音高能夠很方便地「轉調」，所謂轉調就是把樂曲中的每一個音都同時升高或下降相同的聲高，下面的調式中會碰到這樣的狀況。總之這是一個不錯的開始，只要再添加少量限制，就能夠肯定這套音階了。音樂中的不一樣單音扮演着不一樣的角色，它們須要配合使用才能體現出流暢或變化，所謂流暢就是兩個單音出現重合或疊加時，並不顯得突兀，而是顯得十分「協和」。

　　早在古希臘時期人們就發現，頻率成簡單整數比的兩個音在一塊兒更加協和，尤爲是成倍數關係的兩個音疊加時，音高並無變化。這個其實不難解釋，兩個週期比爲\(m:n\)的兩個音重合時，週期變爲最小公倍數\([m,n]\)，當\(m,n\)都不大時，重合音的音高也沒有忽然下降，而且都是原來音高的倍數。既然倍數關係的音高是最協和的，咱們就必須把最簡單的倍數\(2:1\)添加到音階中，任意選定一個「基礎音」後，它的\(2^k,2^{-k}\)倍音也必須出如今音階中，這就獲得了音階序列\(\cdots,\,2^{-2}F,\,2^{-1}F,\,F,\,2F,\,2^2F,\,\cdots\)。

　　可是成倍數的單音又太過協和了，徹底體現不出變化，樂曲會顯得很空洞。因此須要在\([F,2F]\)間再添加一些音（其它區間相似），固然添加不能忘了等比關係，添加後的音應當是式（3）的序列。這時只要肯定整數\(n\)便可，而這隻需再添加一個音。全部非倍數的整數比中最簡單的就是\(2:3\)，從而把\(\dfrac{3}{2}F\)添加進序列（3）是毫無爭議的，也就是尋找\(m\)使得\(2^{\frac{m}{n}}=\dfrac{3}{2}\)。

\[2^0F=F,\:2^{\frac{1}{n}}F,\:2^{\frac{2}{n}}F,\:\cdots,\:2^{\frac{n-1}{n}}F,\:2^{\frac{n}{n}}F=2F\tag{3}\]

　　但顯然\(\log_2\dfrac{3}{2}=0.5849625\cdots\)是無理數，不能表示成\(\dfrac{m}{n}\)的形式，這時咱們只能稍做妥協，取一個\(\log_2\dfrac{3}{2}\)的近似分數。到了這一步，天然地就想到了實數的連分數表示，首先算得\(\log_2\dfrac{3}{2}\)的簡單連分數是\([1,1,2,2,3,1,5,2,23,\cdots]\)，前幾個近似分數分別是\(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{7}{12},\dfrac{24}{41},\dfrac{31}{53},\cdots\)。第一個達到\(0.1%%\)精度的（包括第一類近似逼近）是\(\dfrac{7}{12}\)，\(12\)大小合適，而且在古代是個頗有地位的數（由於約數多），不選它簡直天理難容了。

\[\log_2\dfrac{3}{2}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}\approx\dfrac{7}{12}\tag{4}\]

　　以此創建音階的方法就叫作十二平均律，它誕生於至關久遠的中國古代，16世紀由明朝的朱載堉發展成完整的理論，而後在16世紀末傳播到歐洲並在17世紀得以普及。十二平均律是目前通用的音律體系，後面的音程、調式、調性、和聲、和絃理論都是創建在此之上的，只不過這些理論幾乎都是在歐洲發展起來的。

4. 音程與協和性

　　在音律中有時很是關心兩個單音之間的「距離」，它顯然能夠用單音的頻率比來度量，這個比率在音樂中也被叫作音程。因爲十二平均律獲得音階造成完整的等比數列，從而能夠用相鄰單音的頻率比做爲單位來「數」出音程大小，這個單位叫作一個「半音」，兩個半音則叫一個「全音」，這樣的音程表示法也叫音數。至於爲何把半音做爲一個單位，我想大概是由於許多音階中，兩個半音的距離是比較主要的音程，這個在下面的調式中將詳細討論。另外，一個半音還被分爲100個音分，它能夠用來度量更小精度的音程。

　　因爲\(F\)與\(2F\)的單音極度類似，音階中就好像只有12個音循環出現（只是音高加倍），所以咱們把討論的重點放在一個週期中。在正式給出這些音的名稱以前，這裏先用數字\(0\sim 12\)表明它們，下面要討論的是這13個單音之間的協和程度。這屬於樂理中的和聲學部分，那裏把音程的協和程度分紅了五種：極徹底協和、徹底協和、不徹底協和、不協和、極不協和。首先咱們知道，音\(0\)與音\(12\)以及自身是很是協和的，它們也叫作極徹底協和音程。

　　而後咱們還知道，音\(0\)與音\(7\)的頻率比近似爲\(2:3\)，它們的協和程度也很高，從而被叫作徹底協和音程。接下來，音\(7\)的\(\dfrac{3}{2}\)倍音出如今了下一個循環中，熟知取模運算的你必定知道，它就是音\(2\)的2倍音。從而易知音\(2\)與音\(7\)的近似頻率比爲\(\dfrac{4}{3}\)，它們也是徹底協和的。換句話說，任何一個音都有上下兩個與它徹底協和的音，這個協和關係能夠像下圖那樣造成一個環鏈（由於7與12互質）。

　　歷史上，早期的音階其實就是用上圖的環鏈構建的，但只是使用了環中的\(5\)-\(0\)-\(7\)-\(2\)-\(9\)-\(4\)-\(11\)一段共七個音。因爲音程\(\dfrac{3}{2}\)也叫純五度（下面再介紹），故這個方法也叫五度相生律。但不難發現，五度相生律中會出現分母很大的分數，崇尚小整數比的古人利用小質數\(2,3,5\)構建出了它們的近似分數（見下表，不包括括號內的音），這個生成法也叫純率。五度相生律更注重單音之間的協和性，而純率更關注全部單音與\(F\)之間的協和性，在沒法協調的狀況下，十二平均律則是一個折中的方法。而且十二平均律的平滑性和完整性，也使得它成爲了後來的標準。五度相生律和純率被長期使用的期間，七個音的音名也被約定俗成地繼承了下來（見下表，括號中是它們的唱名），後來添加進來的五個音只好用升降號來表示。

十二平均律	五度相生律	純率	音名（唱名）	音程
\(1\)	\(1\)	\(1\)	C (Do)	純一度
\(2^\frac{1}{12}\)	\((256/243)\)	\((17/16)\)	C# / Db	小二度
\(2^\frac{2}{12}\)	\(9/8\)	\(9/8\)	D (Re)	大二度
\(2^\frac{3}{12}\)	\((32/27)\)	\((6/5)\)	D# / Eb	小三度
\(2^\frac{4}{12}\)	\(81/64\)	\(5/4\)	E (Mi)	大三度
\(2^\frac{5}{12}\)	\(4/3\)	\(4/3\)	F (Fa)	純四度
\(2^\frac{6}{12}\)	\((729/512)\)	\((7/5)\)	F# / Gb	增四 / 減五
\(2^\frac{7}{12}\)	\(3/2\)	\(3/2\)	G (So)	純五度
\(2^\frac{8}{12}\)	\((128/81)\)	\((8/5)\)	G# / Ab	小六度
\(2^\frac{9}{12}\)	\(27/16\)	\(5/3\)	A (La)	大六度
\(2^\frac{10}{12}\)	\((16/9)\)	\((9/5)\)	A# / Bb	小七度
\(2^\frac{11}{12}\)	\(243/64\)	\(17/8\)	B (Si)	大七度
\(2\)	\(2\)	\(2\)	C (Do)	純八度

　　伴隨着七個單音，音程也有對應的名字，單音到自身的音程叫一度，而後依次增一度，到2倍音程叫八度。可見度數並非嚴格的定義，而是一個經驗性的命名，從我有限的資料中並未找到它的來源，如下純屬瞎掰。因爲一度、四度、五度、八度有很強的協和性和肯定的頻率，它們也被叫作純音。2、3、6、七度前面都補充了一個降半音的音，爲區別開來，把原來的四個叫大X度，新增的叫小X度。這十三個度數之間近似相差半個音，之因此說近似，是由於非平均律下，這個間距就不是半個音了。因此當一個音要增、減半個音（一個音）時，還特意取名爲增、減音程（倍增、減音程），下表總結了音程名稱的變化規律，左右相鄰的兩個音程相差半個音。 

倍減音程	減音程	純音程		增音程	倍增音程
		小音程	大音程

　　關於其它音程的協和性，通常把三度、六度當作是不徹底協和的，大2、小七當作是不協和的，小2、大七當作是極不協和的，增四/減五則表現極不穩定。其緣由通常也歸結爲整數比的「複雜」程度，但如何定義這個複雜程度則莫衷一是，各類解釋都不能讓人信服。若是小整數比的理論成立，那這些協和性極可能只對純律有效。在十二平均律下，每一個頻率都有許多近似分數，如何選擇表明分數是個難題，如下只是個人推測。

　　對於音程爲\(x>1\)的兩個音，設週期分別爲\(T,xT\)，它們的和聲不必定有固定週期，只有一些大大小小的近似週期。一個近似週期應當同時約等於\(T,xT\)的倍數，設它們是\(mT,nxT\)，要想週期比較明顯，\(|m-nx|T\)應當足夠小。最小的近似週期應當知足：\(m,n\)儘可能小而\(|m-nx|\)也能足夠小，回顧連分數的知識可知，這等價於求實數\(x\)的第二類最佳逼近\(\dfrac{m}{n}\)。純率選取的分數其實就是達到必定精度的第二類逼近，而後\(n\)越小的協和性越好，這與感受基本吻合。另外我還有一個猜測，那種有理逼近比較慢的音程，因爲近似精度低且兩個近似週期之間相差小，和聲會顯得不協和或不穩定。好比典型的增四/減五音，它的連分數是\([1;2,2,2,2,2\cdots]\)，因爲連分數的逼近速度慢，它的和聲就很不穩定。

5. 調式和調性

　　以上是關於音階的基礎理論，在實際的曲調中每每只選取少許的音組成音階，而且在不一樣時代、不一樣地區造成了各類風格的音階。這裏講的「風格」其實就是音階的「調」，它關係到音樂的情感色彩和情緒高低。一個調（音階）包括選定的主音以及其它音的音程，它們分別稱爲調性和調式。

　　先來看調式，它是指圍繞某個主音（Ⅰ）而生成的音階，對於一種調式，其它音的個數以及相對主音的音程是肯定的。在不一樣的歷史時期和地區，產生了風格迥異的調式，這裏只拿天然大（小）調爲例，介紹調式的構成。天然大（小）調就是咱們熟悉的七音音階，除了主音外先加入上下五度的兩個音：屬音（V）和下屬音（Ⅳ），而後是位於主音、屬音中間的中音（Ⅲ）和位於主音（高八度）、下屬音中間的下中音（Ⅵ），最後再加上與主音相鄰的上主音（Ⅱ）和下主音（Ⅶ）（小調中叫導音）。通常來講，天然大調錶現出陽光明朗的風格，而天然小調則陰暗憂傷一點。

　　在具體音程上，首先兩個屬音的位置沒有疑問，以純五度爲準。但主音和屬音之間相差\(3.5\)個半音，中音的位置有兩種選擇，天然大調選擇\(2+1.5\)方式，而天然小調選擇\(1.5+2\)的方式，這種不一樣繼而還會影響上（下）主音的位置。最終，天然大調的音程從主音開始依次是「全全半全全全半」，而天然小調則是「全半全全半全全」。若是把音程放到一個八度閉環中，不難發現大、小調實際上是「同構」的，只不過平展後有些音相差八度而已。

　　調性比較簡單，主音是什麼，通常就叫什麼調，好比C調、G調。因爲在平均律中有同音異名的現象，同一個調可能有兩個名字，好比F^#調和G^b調就是相同的。但在非平均律下，它們會有細微的差異，這個咱們很少討論。還有一個問題咱們一直沒有解決，就是這些音的頻率到底是多少？歷史上，標準音的標準一直在變，直到1936年，美國標準委員會纔將小字一組的A音（a¹）定爲440Hz，而與它同一組的C音稱爲中央C。

　　有了調式和調性後，音樂的調也就肯定了，好比C大調、A小調等。下圖將12個音按照五度音程串成一個圓環，由前面的討論可知，圓環中任何7個相鄰的音都正好構成一個天然大（小）調。7個相鄰音中的（順時針）第2個是大調的調性音，而第4個則是小調的調性音，利用這個圖能夠快速肯定不一樣的音調。至此，咱們就算整理完音階中的數學解釋了，但對於樂理知識，這些只能算開篇和序言，但願我這種另類的開篇能夠幫助到你。

 

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【前序學科】 實數系統（連分數）

【參考資料】

[1]  《寫給理工科看的樂理》，博客園Devymex

[2]  知乎: www.zhihu.com/question/20612595; www.zhihu.com/question/28518092