強連通份量及縮點tarjan算法解析

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來源：掘金
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強連通定義：在有向圖G<V,E>中，對於點集V'∈V, 點集中的任意兩點均可達，則稱V'爲強連通。 

孤立的一個點也是一個強連通份量 

在嵌套的多個環時 : {全部環上的點}爲一個強連通份量( 最小環就是每一個孤立點）注意必定是知足條件的最大點集。

則上圖中強連通份量有 {1},{2},{3},{7},{4,5,6} 

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tarjan的過程就是dfs過程

對圖dfs一下，遍歷全部未遍歷過的點 ，會獲得一個有向樹，顯然有向樹是沒有環的。（注意搜過的點不會再搜）

則能產生環的 只有（指向已經遍歷過的點）的邊

如左圖，只有紅色與綠色邊有可能產生環。

對於深搜過程，咱們須要一個棧來保存當前所在路徑上的全部點（棧中全部點必定是有父子關係的） 

再仔細觀察紅邊與綠邊，首先獲得結論：紅邊不產生環，綠邊產生環 

一、對於紅邊，鏈接的兩個點三、7沒有父子關係，這種邊稱爲橫叉邊。 橫叉邊必定不產生環。 

二、對於綠邊，鏈接的兩個點六、4是父子關係，這種邊稱爲後向邊。 環必定由後向邊產生。 

三、圖中除了黑色的樹枝邊，必定只有橫叉邊和後向邊（不存在其餘種類的邊）

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則如下考慮對於這兩種邊的處理和判斷：

首先深搜會搜到這樣的圖：

Stack = {1,2,3},3沒有多餘的其餘邊，所以3退棧，把3做爲一個強連通份量

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再次深搜：

此時棧 Stack = {1,2,7}

發現紅邊指向了已經遍歷過的點3 => 是上述的2種邊之一

而3不在棧中 => 3點與7點無父子關係

=> 該邊爲橫叉邊

=>採起無視法。

繼而7點退棧 產生連通份量{7}

繼而2點退棧 產生連通份量{2}

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再次深搜：

此時 Stack = {1,4,5,6}

發現綠邊指向了已經遍歷過的點4 => 是上述的2種邊之一

而4在棧中 => 4點與6點是父子關係

=> 該邊爲後向邊

=>4->6的路徑上的點都是環。

int num[N], Top = 0;
int u = Stack.top(); 
while(u!=4){ num[Top++] = u; Stack.pop(); u = Stack.top();}
num[Top++] = u;
複製代碼

如此就能把Stack中 4->6路徑上的點轉移到num數組裏

顯然num數組中的點是一個連通份量。

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實際狀況可能更復雜：

出現了大環套小環的狀況，顯然咱們認爲最大環是一個強連通份量(即:{4,5,6,8} ）  

於是咱們須要強化一下dfs過程： 

定義： 

int Time, DFN[N], Low[N]; DFN[i]表示 遍歷到 i 點時是第幾回dfs 

Low[u] 表示 以u點爲父節點的 子樹 能鏈接到 [棧中] 最上端的點 的

DFN值(換句話說，是最小的DFN，由於最上端的DFN是最小的嘛） 

int Stack[N], top; //上述的棧 

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