筆算開方法

筆算開方

筆算開平方法，用這個方法能夠求出任何正數的算術平方根。

（並不是是近似值，而是精確值）

原理：

方法可簡記爲——二十倍初商加試商

預備：

下面具體來說一下計算步驟：

1. 以小數點爲起點，將被開方數的整數部分和小數部分分別以2位爲一組分隔（整數從右往左分，小數從左往右分，不足則用0補齊），分紅n段，則代表所求平方根是n位數
2. 肯定平方根的第一位：最大平方數。在不超過第一組數中取最大數x(1..9)，將x做爲除數和第一組的商，求出開方餘項（第一組餘數+第二組）
3. 再求平方根第二位：假設第二位爲a，取算式估計出a的最大值（此爲試商），使得結果不大於開方餘項。新的除數與新商得出乘積，算出新的餘數
4. 把下一組數補齊到新餘數後，重複步驟3
5. 小數點對齊，運算至所需精度

這樣講述顯得蒼白無力（有一個大概印象便可），咱們直接看例子：

例如對105625進行開方：

首先對105625進行分段，從右往左每兩位數字分爲1段，也就是10，56，25三段數字。先算出平方根的第一位數字，在平方不超過10的數字裏取最大的，好比1的平方爲1，2的平方爲4，3的平方爲9，4的平方爲16，16已經超過10了，1，2，3的平方都比10小，那平方根首位數字取3，由於 1，2，3當中3最大
10-3的平方=1，將被開方數第二段數字補上去，獲得156。如今算平方根第二位數字。假設這第二位數字爲a，取算式a*(20*3+a)，式子中20是一個固定不變的數（不論被開方數是多少）3就是剛剛計算出的平方根的首位數字。對a的值進行估計，使得 a*(20*3+a)不超過156。取a=1，a(20*3+a)=61,a=2時a(20*3+a)=124，a=3時 a*(20*3+a)=189，189已經超過156，因此a在1，2之間取值取最大的一個數，也就是2，平方根的第二位數字就是2了
a(20*3+a)=124，62 乘以平方根第二位數字，也就是62*2=124，156-124=32，將被開方數第三段數字補上去，獲得3225，與前面相似，取算式 b(20*32+b)，式子中20仍是固定不變的數字，32是剛剛算出的平方根的前兩位數字，對b取值，使得b(20*32+b)不超過3225，由計算 可知b=5，平方根第三位數字即爲5
若是平方根還有第四位數字，或者更多，假設325後面還有第四位數字，算第四位數字時取算式 a(20*325+a)，式子中的325便是已經算出的平方根的幾位數字，後面算法都跟前面相似。對於被開方數是小數，分段時要注意，好比計算1.323 的平方根，它的小數位有3位，位數是奇數個，要補一個0上去，即1.3230，而後從左往右每兩位數字分爲一段。好比開方數是3.7478，小數位有4位數字，是偶數個位數，不用補0，能夠直接分段，小數和整數的開方計算方法是同樣的。

練習：

 

上述筆算開方方法是咱們大多數人上學時課本附錄給出的方法，實際中運算中太麻煩了。咱們能夠採起下面辦法，實際計算中不怕某一步算錯！！！而上面方法就不行。  

好比136161這個數字，首先咱們找到一個和136161的平方根比較接近的數，任選一個，比方說300到400間的任何一個數，這裏選350，做爲表明。  咱們計算0.5*(350+136161/350)獲得369.5  

而後咱們再計算0.5*(369.5+136161/369.5)獲得369.0003，咱們發現369.5和369.0003相差無幾，而且，369^2末尾數字爲1。咱們有理由判定369^2=136161  通常來講可以開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結果就出來了。再舉個例子：計算469225的平方根。首先咱們發現600^2<469225<700^2,咱們能夠挑選650做爲第一次計算的數。即算  

0.5*(650+469225/650)獲得685.9。而685附近只有685^2末尾數字是5，所以685^2=469225  

對於那些開方開不盡的數，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，通常達到小數點後好幾位。  

實際中這種算法也是計算機用於開方的算法