[[清華集訓2012]串珠子]

[清華集訓2012]串珠子

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接下來咱們把整道題的主要思路簡要地梳理開來。

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首先，咱們先考慮最經典的問題（這經典嗎？？？）：

旅行商問題

不，是與之相似的一類問題：給一堆點（有順序要求），要求有多少種方案數使這 \(n\) 個點構成一張連通圖（無自環、重邊）。

該問題能夠經過一下方法解決：

考慮補集轉化思想，將求全部的連通圖的方案轉化爲全部圖的方案\(-\)非連通圖的方案。

咱們能夠定義一個 \(dp(S)\) 表明最終答案（ \(S\) 表明點集，下同），\(f(S)\) 表明非連通圖的方案，\(g(S)\) 表明總方案數。

很顯然，在該集合中全部的點構成的徹底圖的的子圖個數是總方案數。

而對於非連通圖而言，咱們能夠將點集中的點分爲兩部分——一部分爲連通圖、另外一部分瞎搞，只要這兩部分互相不連通就能夠了。

只不過爲了不重不漏，咱們能夠對於任意一個點，考慮它所在的連通圖的節點個數進行計數。

最後咱們有：

\[f(S)=\sum dp(S0)*g(S\setminus S0) \]

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回到這道題，咱們能夠仿照剛纔的想法，補集轉化去作。只不過咱們這裏的總方案數並非2的整數次冪，而是每條邊種數加一後，全部數的乘積後的結果。

對於補集而言，仍然選任意一個點進行分狀況計數便可。

最後不用卡常就過了。

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總結：

1. 經典狀壓問題的變形；

2. 補集轉化。