動態規劃求編輯距離

 編輯距離，又稱Levenshtein距離，是指兩個字串之間，由一個轉成另外一個所需的最少編輯操做次數。許可的編輯操做包括將一個字符替換成另外一個字符，插入一個字符，刪除一個字符。

例如將kitten一字轉成sitting：

1. sitten （k→s）
2. sittin （e→i）
3. sitting （→g）

          動態規劃是解決該問題的經常使用思路。

          首先，初看這個問題並聯繫到動態規劃是須要很強的數學抽象能力的，對於我這種抽象能力較弱的人來講，惟一能讓我聯繫到動態規劃的地方就是「最少」，「最 多」，這種字眼。假設咱們決定試着使用動態規劃求解，那就要尋找該問題有沒有動態規劃的特色。若是可以描述出問題的狀態，而且可以得出一個狀態轉移方程， 則頗有可能可以用動態規劃求解。

         對於編輯距離問題，牽涉到源字符串src和目標字符串dest，顯然一個狀態量是很差描述這種兩元關係的，那麼就使用了i,j兩個量來描述一個狀態。對 於編輯距離的某個狀態，從源字符串src的1->i 到目標字符串dest的1->j 的最優編輯距離用c[i,j]來表示，那麼，如今的目標就是獲得一個狀態轉移方程，即怎樣從ti<i, tj<j 的這些子狀態轉移到i,j?在編輯距離的可選操做中，只有插入、刪除和替換，那麼子狀態也只可能由這三種方式轉移獲得如今狀態。

        若是是插入操做，那麼必然是從c[i,j-1]轉化到c[i,j]的，此時是向src[1...i]最後增長一個字符，轉化方程是

              c[i,j]=c[i,j-1]+1

        若是是刪除操做，那麼必然是從c[i-1,j]轉化到c[i,j]的，此時是將src[1...i]最後一個字符刪除，轉化方程是

              c[i,j]=c[i-1,j]+1

        若是是替換操做，那麼必然是從c[i-1,j-1]轉化到c[i,j]的，此時考慮src[i]和dest[j]是否相同，若是相同則不須要替換直接轉移狀態，若是不一樣則發生替換操做，轉化方程是

 

1.        c[i,j]=c[i-1,j-1]          ;   src[i]==dest[j]
2.        c[i,j]=c[i-1,j-1]+1     ;   src[i] != dest[j]

      而當前狀態c[i,j]究竟是從哪一種子狀態轉移得來的，就要比較哪一種是最優的選擇，即比較這三種轉化的最小距離，因此最終獲得的轉移方程爲：

 

      因此，如今咱們能夠寫出動態規劃解這個問題了，給出僞代碼以下：