字符串與模式匹配算法（二）：MP算法

1、MP算法介紹

　　MP 算法是一種快速串匹配算法，對 BF 算法的改進很大，主要體如今匹配失敗時，目標指針不用回溯，而是利用已經獲得的「部分匹配」結果，將模式向右「滑動」若干位置後繼續比較，避免了頻繁回溯，廣泛提升了匹配的工做效率，所以又被稱爲不回溯的字符串搜索算法。

　　假設有目標串T(t₀,t₁,t₂,t₃,……,t_n-1)和模式串P(p₀,p₁,p₂,p₃,……,p_m-1)，若使用BF算法進行模式匹配，第一輪比較時，若t_k≠p_k，則算法結束這輪比較_。

　　字符串T和P中第一個不相等的字符位置出如今位置k處，因此兩串前k個字符是相等的，能夠用字符串P(p₀,p₁,p₂,p₃,……,p_k-1)代替字符串T'(t₀,t₁,t₂,t₃,……,t_k-1)，因而原目標串可轉化爲T(p₀,p₁,p₂,p₃,……,p_k-1,t_k,...,t_n-1)。在進行第二次比較以前，算法一樣把字符串P總體向後移動一個字符，此時，T與P的關係：

　　在上面的比較中，首先比較的是 P中的首字符p₀ 與 T中的第2個字符p₁，若與相等，則算法順序比較 P中第2個字符P₁ 與 T中第3個字符P₂，若不相等，則算法將模式串P總體向後移動一個字符，此時T與P之間的關係：

　　算法依照相同的次序，首先對 P中字符p₀ 與 T中字符p₂ 進行比較，若相等則順序比較後續字符，若不相等，則把P總體向後移動一個字符。

　　從上面的流程描述，都是對模式串的字符做比較，因此MP算法先是計算出模式字符串（串P）中各個字符之間的關係，而後再依據此關係與目標字符串（串T）進行匹配。記錄串P中各個字符之間的關係的函數也被稱爲字符串P的失效函數。

2、MP算法中模式串的失效函數

　　失效函數的定義域爲 j∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，也就是 0~Len(P)-1，Len(P)爲串P的長度。

　　失效函數的值域的計算：對於 k∈{x | 0≤x<j}，且 k 知足 p₀ p_{1 …} p_k = p_j-k p_j-k+1 … p_j 的最大正整數。

　　對於模式串P「caatcat」的失效函數實例（不能知足條件的k不存在則爲-1）：

j	0	1	2	3	4	5	6
p(j)	c	a	a	t	c	a	t
f(j)	-1	-1	-1	-1	0	1	-1

　　：

　　① 當 j = 0，因爲 0≤k<0，因此知足條件的 k 並不存在，因此 j 取 0，f(0) = -1。

　　② 當 j = 4，k 的可能取值有 0,1,2,3，因爲 p₀ = p₄，p₀p₁ ≠ p₃p₄，p₀p₁p₂ ≠ p₂p₃p₄ 以及 p₀p₁p₂p₃ ≠ p₁p₂p₃p₄，因此 f(4) = 0。

　　③ 當 j = 5，k 的可能取值有 0,1,2,3,4，同理 p₀ ≠ p₅，p₀p₁ = p₄p₅，p₀p₁p₂ ≠ p₃p₄p₅ ，p₀p₁p₂p₃ ≠ p₂p₃p₄p₅ 以及 p₀p₁p₂p₃p₄ ≠ p₁p₂p₃p₄p₅，因此 f(5) = 1。

　　獲得字符串P的失效函數後，就能夠應用 MP 算法對它進行匹配。

　　總結一下，上面所述的是在求字符串前綴後綴的部分匹配值，如例子②： j = 4，字符串的子串「caatc」，它的前綴表達式爲{「c」，「ca」，「caa」，「caat」}，後綴表達式爲{「aatc」，「atc」，「tc」，「c」}，因此由「caatc」的前綴後綴獲得的部分匹配值爲 「c」，對應的就是上面說的 0。

3、MP函數使用失效函數對字符串進行匹配

　　假設模式串 P = 「caatcat」，目標字符串 T = 「ctcaatcacaatcat」。

　　在第一輪匹配前，首先把模式字符串P與目標字符串T從各自第一個字符起對齊。

　　有第一輪結果可知，模式字符串與目標字符串在第2個字符處發生失配。檢測到適配後本輪結束，目標指針不發生回溯，仍指向失配的位置。因爲失配發生在第2個字符處，此時 j = 1。因此模式P在下一輪匹配時的起始地址爲 p_f(1-1)+1， 即P₀。

　　在第二輪比較中，因爲模式字符串P在的第1個字符處發生失配，此時 j = 0，因此讓目標的指針前進一位，模式的起始比較地址回到p_0。

　　發現模式字符串P中的第7個字符處發生失配，此時 j = 6。可知模式字符串P在下一輪匹配時的起始比較地址爲p_f(6-1)+1，即p₂。目標指針一樣不發生回溯，仍指向發生失配的位置。

　　通過第4輪比較後，匹配成功。經過簡單分析，MP算法的時間複雜度大體爲O(m+n)，計算模式串的失效函數O(m)，利用失效函數進行匹配O(n)，m爲模式串P的長度，n爲目標串的長度。

4、代碼

 1     /**
 2      * MP算法的失效函數
 3      *
 4      * @param x
 5      * @param m
 6      * @param mpNext
 7      */
 8     void preMp(char x[], int m, int mpNext[]) {
 9         int i, j;
10         i = 0;
11         j = mpNext[0] = -1;
12         while (i < m) {
13             while (j > -1 && x[i] != x[j])
14                 j = mpNext[j];
15             mpNext[++i] = ++j;
16         }
17     }
18 
19     /**
20      * MP算法
21      * @param p 模式串
22      * @param t 目標串
23      */
24     void mp(String p, String t) {
25         int m = p.length();
26         int n = t.length();
27         if (m > n) {
28             System.err.println("Unsuccessful match!");
29             return;
30         }
31 
32         char[] x = p.toCharArray();
33         char[] y = t.toCharArray();
34 
35         int i = 0;
36         int j = 0;
37         int[] mpNext = new int[m+1];
38         preMp(x, m, mpNext);
39 
40         while (j < n) {
41             while (i > -1 && x[i] != y[j])
42                 i = mpNext[i];
43             i++;
44             j++;
45             if (i >= m) {
46                 System.out.println("Matching index found at: " + (j - i + 1));
47                 i = mpNext[i];
48             }
49         }
50     }