[六]基礎數據類型之浮點數簡介

Java中,基本數據float 和double的包裝類Float和Double都是浮點類型

因此對於浮點數在計算機中的表示方法須要有一個基本瞭解,不然很難了解清楚Float和Double的實現原理

本文對計算機中的浮點數表示IEEE754標準,進行了簡單介紹

浮點數的表示

IEEE754 標準

  

 

 

由於指數有正有負，指數位中咱們就要拿出第一位來指示符號,可是處理起來會不方便

因此給指數的真值 加上 指數偏移值 ，就能保證結果老是一個非負數  

標準規定 指數偏移值爲  2(e−1) -1  e爲指數的位數

單精度  指數偏移值爲127     對於雙精度  指數偏移值爲1023

指數無符號數表示的範圍 單精度8位   0~255 雙精度11位 0~2047

指數真值也就是實際的值 單精度 -127 ~ 128 雙精度 -1022 ~ 1023

不過頭尾 被保留, 會另作他用 ,下面會繼續說明 因此實際的值要去掉頭尾,也就是 單精度 -126 ~ 127 雙精度 -1022 ~ 1023

規範化形式

綜上,一個實數在計算機中表示形式爲: sign  s          符號位 exponent     指數部分 fraction        尾數部分

按照咱們上面講的,指數真值也就是實際的值 單精度 -127 ~ 128 雙精度 -1022 ~ 1023 也就是不包括頭尾, 也就是指數部分不包括 指數全是0 (0) 或者全是1(255)的狀況  這就是規範化形式,對於規範化形式,表示的數值以下   S = 符號位 M=1.f E=指數值-指數偏移值

表示的數值爲:

這是浮點數的規範化表示形式 S表示符號位 尾數部分前隱含一個小數點,小數點前隱含一個1 指數的真值E 也就是 指數部分表示的無符號數減掉指數偏移值

取值範圍

單精度

單精度指數的範圍(指數 - 指數偏移值以後的值 )  爲: -126 ~ 127

正數最大值 指數爲正數的最大值 127 尾數 也爲最大值 所有都是1  也就是23個1 (-1)0  × 1.11111...(23個1)  × 2127  也就是 (2−2−23)×2127

1.11111...(23個1)  = 20 +2-1 +2-2 + ....2-23     公比 q= 1/2    a1 = 20 代入公式

正數最小值 指數爲負數的最小值 -126 尾數 也爲最小值, 所有都是0  也就是23個0 1.0  ×  2-126

 

雙精度

雙精度指數的範圍(指數 - 指數偏移值以後的值 )  爲: -1022 ~ 1023

正數最大值 指數爲正數的最大值 1023 尾數 也爲最大值 所有都是1  也就是52個1 (-1)0  * 1.11111...(52個1)  * 21023  也就是 (2−2−52)×21023   (仍是等比數列求和)

正數最小值 指數爲負數的最小值 -1022 尾數 也爲最小值, 所有都是0  也就是52個0 1.0 × 2-1022

非標準化形式

試想,對於單精度 1.001×2−125  和1.01×2−125, 它們的差值是0.001×2−125=1.0×2−128

兩個數值之間的差小於可以表示的最小值

也就意味着兩個不相等的數進行減法運算,將會瞬間下溢, 獲得的結果將會是0

其實這就是精度不夠的問題

因此又規定了非標準化形式

那麼怎麼區分何時是標準何時是非標準呢? 就是使用保留的指數的取值範圍 

對於指數部分,若是全部的比特位全都是0 ,那麼這就是一個非標準化形式

在非標準化狀況下,尾數部分以前有隱含的小數點, 可是小數點以前,隱含的不在是1 而是0

對於指數的真值,再也不是指數部分表示的無符號數減掉指數偏移量 一旦指數部分爲0  (也就是全部的比特位都是0),這就是一個標記符號了,再也不有指數大小的含義 這種狀況下  指數的真值爲  1 - 指數偏移量 單精度爲 1-127= -126 雙精度爲 1-1023 = -1022

單精度  (−1)s ×  (0.f)  ×  2-126   雙精度  (−1)s ×  (0.f)  ×  2-1022

 

取值範圍

很顯然,對於非標準化形式來講,指數的真值變成了固定值

想要得到正數的最小值,只須要最後一位爲1 其餘全部的尾數部分全都是0便可

單精度	0.0000...1(23位,最後一位爲1)  ×  2-126   =  2-23 ×  2-126  =  2-149
雙精度	0.0000...1(52位,最後一位爲1)  ×  2-1022 = 2-52 ×   2-1022 = 2-1074

 

特殊值

指數部分表示的無符號數,頭尾被保留,用於表示一些特別的含義

對於標準化形式,指數部分 既不是全0  也不是全1

非標準化狀況下,指數部分爲全0

當指數部分中全部bit的值全是1，f中全部bit的值全是0，表示無窮大 根據符號位來區分正無窮和負無窮

當指數部分中全部bit的值全是1，f中全部bit的值不全是0  表示NaN(Not a Number)

若是 指數 是0 而且 小數部分 是0, 這個數是0 根據符號位區分+0  和  -0