Java千問：各類數制及數制間轉換算法詳解

咱們在生活中用到數字，都是以十進制的方式計數的。稍有計算機常識的人都知道，計算機中是以二進制的方式計數的，另外在計算機中表示顏色常常會用到十六進制的數字，此外在其餘一些領域還會用到八進制的數字。那麼二進制、八進制、十進制、十六進制的數字，到底是怎樣計數的？它們之間是怎樣相互換算的？本文就來詳細說說這兩個問題。

1、多種進制的計數方法

首先來講咱們最熟悉的十進制。十進制計數法有10個原始的數字，分別是0-9，當咱們想表示一個比9還大1的數字時，1個數位就不夠用了，必須用兩位數來表示，就是10，再比10大1的數是11...以此類推這樣就能表示出任意大的數字。
而計算機中使用的二進制計數法，二進制計數法只有兩個原始數字，就是0和1，想表示比1還大1的數字就須要用兩位數來表示，就是10，以後是11，再以後是100...二進制計數法中最大的數字就是1，再增長的話就要進位了。這樣以此類推也能表示任意一個數字。
經過學習二進制計數法，想必你們已經知道八進制數的特色了，那就是總共有8個原始數字，分別是0-7，當表示比7還大1的數字時，就必須進位了。
那麼再來講說十六進制計數法。十六進制計數法中，有16個原始數字，前10個原始數字咱們就用0-9來表示，但咱們習慣使用的阿拉伯數字只有0-9這10個數字，如今還差6個原始數字，怎麼辦呢？咱們就用字母去代替，這樣的話第11個原始數字就A，第12個原始數字就是B，以此類推，第16個原始數字就是F。這個F換算成10進制數其實就是15。當表示比F還要大1的數字，就須要進位了，因此F再向後數就是10，11...小夥伴們可能很是不習慣16進制的技術方法，由於忽然跑出來一些字母來表示一個數字，其實用多了天然也就習慣了。

2、數制的相互轉換

下面咱們來講說這些數制之間如何相互轉換。剛纔提到的4種進制的數字，相互轉換的話有12種狀況，請看下圖：

從這幅圖片上你們能夠看到,各類數制之間相互轉換狀況的全部情形：四種數制之間相互連線，總共能夠連12條線。不少小夥伴的第一反應就是：這麼多種狀況，又要記不少轉換規則。其實大可沒必要擔憂，咱們能夠把這12中狀況分紅3種類型，而且掌握每種類型的算法就能夠了。12種狀況能夠分紅如下三類

• 其餘進制的數轉換爲10進制
• 10進制的數轉換爲其餘進制的數
• 其餘數制之間相互轉換
  首先咱們來講說其餘進制的數怎樣轉換爲10進制的數。當咱們拿到一個10進制的數字，好比168，那麼168爲何是168呢？小夥伴們都會說這不是廢話嗎？168不是168還能是多少？其實168這個數字是由3個原始數字一、6和8組成的，這3個原始數字分別佔據百位、十位和個位，這樣，咱們能夠把168這個數字分解成如下形式：

以上算式運算獲得的值是168，因此一、6和8這3個原始數字排列起來就能表示168。
這裏須要強調一個細節，由於咱們如今討論的是10進制的數字，這三個原始數字都是乘以以10爲底的n次方。按照這個原理，若是討論的是2進制數字，那麼計算一個數就應該是原始數字乘以以2爲底的n次方，而後再把各個數字相加，最後就能得出這個數字的具體值了，好比一個二進制數101，按照剛纔的算法，能夠把101分解成如下形式：

以上算式運算獲得的值是5。這就是二進制轉換爲10進制數的基本原理。
一樣的，咱們也能夠把十六進制和八進制的數轉換爲十進制，好比十六進制的數1AF，能夠分解成以下形式：

咱們在運算時把A和F直接替換成對應的十進制數10和15，以上算式運算最終獲得的十進制數就是431。經過幾個例子，相信你們已經掌握了其餘進制的數轉換爲十進制數的算法。這個算法的套路就是把各個位上的數字與M爲底的n-1次方相乘，而後把相乘的結果都加起來，須要注意的是：幾進制轉換十進制，那麼M就是幾，好比要把二進制轉換爲十進制，這個M就是2。而所謂的n就是從右邊數第幾位，好比對於從右邊數第3位的數字，n就是3，而n-1就是2。

剛纔咱們講的是第一種類型，就是把其餘進制的數字轉換爲十進制，下面咱們再來講說十進制的數如何轉換爲其餘進制的數。十進制的數如何轉換爲其餘進制的數算法咱們能夠稱之爲「展轉求餘法」。所謂「展轉求餘法」就是指不斷的用十進制的數字除以N，直到商爲零爲止，以後把每次除法操做所獲得的餘數串起來就完成了轉換。這裏要說明的是，若是是但願轉換爲二進制的數，那麼就是不斷除以2，同理，若是是但願轉換爲八進制的數，就不斷的除以8。咱們就以十進制轉換爲二進制爲例來爲你們講解這個算法。好比咱們要把十進制的數字13轉換爲2進制，就能夠用如下方式完成轉換：

運算的過程如上圖所示：把13除以2，獲得的商若是不爲0，那麼就以除法獲得的商繼續除以2，一直到商爲0爲止，最後把每次除法操做所獲得的餘數從下到上串起來，獲得的結果就是1101。
下面再來說一個十進制數轉換爲十六進制數的例子。好比把1835這個數字轉換爲十六進制，算法是同樣的，只不過此次是不斷的用這個數字除以16，過程以下圖所示：

把餘數中大於9的餘數替換爲字母，也就是把11替換爲B，這樣就獲得了1835轉換爲十六進制的數字爲72B

以上咱們已經講解了數制之間轉換的兩種類型，分別是其餘進制轉換爲十進制和十進制轉換爲其餘進制。如今就只剩第三種，那就是其餘進制數字之間的轉換。首先咱們講一下二進制轉換爲十六進制數的算法。在講算法以前，必須先講一下二進制數和十六進制數有什麼關係。咱們知道，二進制數只有兩個原始數字分別是0和1，也就是說，二進制數的每個位只有兩種情形，非0即1。按照排列組合的算法，若是咱們想排列出4種情形，只用1位二進制數是沒法實現的，由於二進制數的每個位只有2種情形。要排列出4種情形，那必須用2位數，同理，想排列出8種情形，要用3位數，想排列出16種情形，必須用4位數。而十六進制數有16個原始數字，也就是說十六進制數僅僅1個位上的數字就都有16種變化的可能性。那麼這樣咱們就很容易理解一個道理，那就是：十六進制數的1位所能表示的數字，至關於二進制數4位所能表示的數字。
按照這種思想，咱們把二進制數轉換爲十六進制的數時，首先把每4位二進制數劃分爲一組，把每一組二進制數字分別轉換爲一位十六進制數。劃分時候從最右邊開始，每4位分爲1組，若是劃到左邊發現不夠4位時，就讓剩餘的這幾個數單獨劃分爲一組。例如，二進制數101 1011 1000 1110轉換爲十六進制數過程以下：

如上圖所示：從右邊開始，每4位分爲一組，左邊不足4位的單獨劃分爲一組，以後把每組二進制數先轉爲十進制數，而後把大於9的數字用字母代替，最後就產生了轉換的結果5B8E。
這個例子是把二進制數字轉換爲十六進制，在轉換的時候是把4位二進制數劃分爲一組進行轉換，若是想把一個二進制數字轉換爲八進制數該怎麼辦呢？不少同窗確定會馬上想到，在轉換的時候把3位二進制數劃分爲一組，爲何是3位劃分一組呢？緣由很簡單，就是由於每3位二進制數能夠排列出8種情形，而八進制數每1位數字就有8種變化的可能性。
咱們仍然用剛纔這個二進制數字進行舉例，其轉換過程以下：

1. 
   轉換結果爲55616。由於3位二進制數不可能組合出比8還大的數字，因此不會出現用字母替換數字的狀況，那麼咱們所獲得的這個數字自己就已是一個八進制數了。
   以上講解的是用二進制數轉換爲十六進制和八進制數，那麼八進制數怎麼轉爲二進制數十六進制數如何轉換爲八進制數？八進制怎麼轉化爲十六進制等等。這幾種狀況確實不太容易直接轉換，其實你們也沒必要擔憂，咱們能夠用兩步來實現，首先把某種進制的數字轉成十進制數，以十進制數爲媒介，再轉換爲另外一種數制就能夠了。好比就拿剛纔的數字來講，若是咱們但願把八進制數字55616轉換爲十六進制數，能夠先把這個八進制數轉換爲十進制數23438，再把十進制的數字23438轉換爲十六進制數5B8E就能夠了。總之，全部不方便轉換的狀況，均可以先轉換爲十進制數，而後再進行二次轉換。這樣，任意兩種數制之間就都可以實現相互轉換了。

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