由兩個n位數相乘獲得的最大回文 Largest Palindrome Product

問題：

Find the largest palindrome made from the product of two n-digit numbers.

Since the result could be very large, you should return the largest palindrome mod 1337.

Example:

Input: 2

Output: 987

Explanation: 99 x 91 = 9009, 9009 % 1337 = 987

Note:

The range of n is [1,8].

解決：

【題意】找到由兩個n位數相乘獲得的最大回文。因爲返回的結果可能會很大，因此結果爲乘積 % 1337。n的範圍是[1,8]。https://leetcode.com/problems/largest-palindrome-product/discuss/96306

解決這個問題有兩個方向：一是先構造迴文，而後判斷它是否能夠寫成兩個n位數的乘積; 另外一種是首先得到兩位數字的乘積，而後判斷乘積是不是迴文。

① 先構造迴文，而後判斷它是否能夠寫成兩個n位數的乘積：

首先，須要考慮兩個問題：

1. 如何構建迴文並按降序排列（咱們只須要最大回文數）。

2. 如何判斷一個給定的迴文數能夠寫成兩個數的乘積。

對於第一個問題，咱們須要知道每一個迴文中有多少位數。因爲迴文是兩個n位數的乘積，因此它能夠有2n或2n - 1位數。並且，因爲咱們只須要最大回文數，所以咱們將首先考慮2n位的迴文。這些迴文能夠分爲數字相同的兩部分（每部分n個）：左和右。左邊是右邊的鏡像，反之亦然。 所以，每一個迴文將徹底由其左邊或右邊的部分決定。

須要注意的是，左邊的部分是一個n位的數字，若是咱們按照降序排列，最終的迴文也會按降序排列。所以，咱們能夠從最大的n位數向最小的n位數遍歷。對於每一個數字，咱們能夠經過鏈接數字和鏡像來構建迴文。

對於第二個問題，即如何判斷一個給定的迴文數能夠寫成兩個數的乘積。這本質上是「整數分解」問題。一種簡單的方法是「嘗試分割」算法，即測試每一個n位數以查看它是不是迴文數的因子，若是是，則另外一個因子也是n位數字。

注意咱們只考慮了2n位的迴文。 幸運的是，對於每種狀況（n = 1到8），咱們可以找到至少一個能夠分解成兩個n位數字的迴文，所以不須要檢查那些具備2n - 1個數字的迴文。O(10^n)

class Solution { //387ms
    public int largestPalindrome(int n) {
        if (n == 1) return 9;
        long max = (long) Math.pow(10,n) - 1;//n位數的最大回文，上界
        long min = max / 10;//下界
        for (long p = max;p > min;p --){//從大到小，構造迴文
            long left = p;//最大回文的左半部分
            long right = 0;
            for (long i = p;i != 0;i /= 10){
                right = right * 10 + i % 10;
                left *= 10;
            }
            long palindrome = left + right;//構造迴文序列
            for (long i = max;i > min;i --){
                long j = palindrome / i;
                if (j > i || j <= min) break;//若是另外一個因子大於當前因子，或者不是n位數，則終止
                if (palindrome % i == 0) return (int)(palindrome % 1337);//若是當前數是一個因子，則找到了知足條件的最大回文
            }
        }
        return 9;//n = 1時
    }
}

② 根據上面的分析，咱們只須要關注最大回文數便可，因此能夠從9開始檢查迴文。若是沒找到，則從8，7，6，...開始檢查。若是這個迴文數是以9開始的，則其結尾也應該是9。若是迴文數是兩個n位數的乘積，則這兩個數應該以1，3，7，9結尾。對於其餘的狀況也是如此。

對於每一個n來講，至少存在一個具備2n位的迴文數，它以數字9開始，能夠寫成兩個n位數的乘積。

通過分析，有以下結論：對於每一個n，存在至少兩個n位數字num1和num2,10 ^ n-10 ^ m <= num1，num2 <= 10 ^ n -1和m = [ n + 1）/ 2]，其乘積將是迴文數。

先獲得兩個n位數的乘積，再判斷乘積是不是迴文。

與第一種方法相似，咱們須要考慮如下兩個問題：

1. 如何構建乘積並降序排列。

2. 如何判斷給定的乘積是迴文數。

第二個問題很簡單，只需將乘積倒過來，並判斷它是否與原來的乘積相同。 可是，第一個問題有點困難。 得到乘積是一件容易的事。 困難的部分是如何按降序排列。

首先咱們須要肯定候選乘積。 從上面的分析看，咱們只考慮在[10 ^ n - 10 ^ m，10 ^ n - 1]範圍內兩個n位數字得到的乘積。其次，咱們能夠使用PriorityQueue以降序提取這些候選乘積。

然而，當n = 8時，上面候選乘積的總數仍然不少。因此咱們須要進一步的修剪：

首先，因爲乘積以數字9結尾，因此兩個數字必須以數字1,3,7或9結尾。
其次，爲了不重複，第一個數字不會小於第二個。
第三，對於第一個因子固定的全部乘積，沒有必要一次把全部乘積都記下來，而是能夠考慮將第二個因子按順序遞減來遍歷。
最後咱們將這兩個因子存儲在PriorityQueue中，同時根據他們的乘積提取它們。

class Solution {//275ms
    public int largestPalindrome(int n) {
        //兩個因子的範圍[10^n - 10^m, 10^n - 1]，m = [(n+1)/2]
        int max = (int) Math.pow(10,n) - 1;
        int min = max - (int) Math.pow(10,(n + 1) >> 1);
        Comparator<int[]> cmp = new Comparator<int[]>() {
            @Override             public int compare(int[] o1, int[] o2) {//將乘積按降序排列                 return Long.compare((long) o2[0] * o2[1],(long) o1[0] * o1[1]);             }         };         PriorityQueue<int[]> priorityQueue = new PriorityQueue<>(max - min,cmp);         for (int i = max;i > min;i --){             int tail = i % 10;             if (tail == 3 || tail == 7){                 priorityQueue.offer(new int[]{i,i});             }else if (tail == 1){                 priorityQueue.offer(new int[]{i,i - 2});             }else if (tail == 9){                 priorityQueue.offer(new int[]{i,i - 8});             }         }         while (! priorityQueue.isEmpty()){             int[] tmp = priorityQueue.poll();             long palindrome = (long) tmp[0] * tmp[1];             if (isPalindrome(palindrome)){                 return (int)(palindrome % 1337);             }             if (tmp[1] > min){                 tmp[1] -= 10;                 priorityQueue.offer(tmp);             }         }         return 0;     }     public boolean isPalindrome(long x){         long reverse = 0;         for (long tmp = x; tmp != 0;tmp /= 10){             reverse = reverse * 10 + tmp % 10;         }         return reverse == x;     } }