初步瞭解機器中浮點數表示方法

浮點數是小數點位置變化的數，能表示的範圍比定點數大不少。

好比二進制數11.11能夠表示爲111.1×2^-1或1.111×2¹等，咱們由此規律能獲得二進制數更通常形式N=2^E×F，E稱爲階碼，F稱爲尾數。這個數在機器裏怎麼存呢，是把正負符號、二、E、E的正負號、F轉爲01序列存起來嗎？

若是由咱們本身來設計計算機，這樣的確能夠，不過總有人會想出更聰明的辦法。首先符號位必須佔一位，2能夠省略不存，默認的。階碼E轉爲移碼存，這樣就不用存階碼的正負符號了。最後是很講究的尾數，尾數爲0固然直接存0，不爲0時，尾數域的最高位必須爲1，好比0.001×2⁰必需要變0.1×2^-2,也就是小數點後不能爲0，像0.001小數點後爲0，就要變化階碼，使得小數點移到1前變成0.1，而後只存小數點以後的數，這個過程叫尾數規格化。

因此通常來講，浮點數的機器碼錶示以下：

符號位	階碼 （移碼）	尾數(定點小數)

現實中具體到底如何實現有許多方法，好比階碼放在尾數後，符號位放在階碼後，階碼用補碼錶示等。
用一道題目來幫助理解：


如圖1所示爲計算機中16位浮點數的表示格式。
某機器碼爲1110001010000000。
若階碼爲移碼且尾數爲反碼，其十進制真值爲 (1) ;
若階碼爲移碼且尾數爲原碼，其十進制真值爲 (2) ;
若階碼爲補碼且尾數爲反碼，其十進制真值爲 (3) ;
若階碼爲補碼且尾數爲原碼，其十進制真值爲 (4) ，將其規格化後的機器碼爲 (5) 。
(1) ～ (4)
A．0.078125
B．20
C．1.25
D．20.969375
(5)
A．1110001010000000
B．11110101000000
C．1101010100000000
D．11110001010000

個人分析：
(1)階碼爲移碼，即1110爲移碼，對應原碼爲0110，其十進制真值爲6，尾數001010000000爲反碼，正數反碼換成原碼爲原形式，其對應十進制真值爲2^-2+2^-4=0.3125，因此整個數十進制真值爲2⁶×0.3125=20
(2)階碼爲移碼，尾數爲原碼，和(1)是同樣的。

(3)階碼爲補碼，補碼1110對應的原碼爲1010，即-2，尾數爲反碼，(1)已經分析過爲0.3125，則整個數十進制真值爲2^-2×0.3125=0.078125
(4)階碼1110爲補碼,真值爲-2，尾數爲原碼，同(3)

(5)浮點數規格化表示，是尾數值不爲0時，尾數域最高有效位要爲1，好比0.001×2⁰必需要變0.1×2^-2， 題目中尾數域爲001010000000第一個0爲符號位無論，第二個0是能夠消去的，變成010100000000，這樣消去後，階碼要相應地減1變爲1101，故規格化後的機器碼1101010100000000

有個名叫IEEE-754的標準就統一了浮點數具體實現方法，目前大多數高級語言都按照IEEE-754標準來規定浮點數的存儲格式，好比Java,還有咱們熟知的C語言。

按IEEE-754標準定義的單精度浮點數float：

符號位	階碼 （移碼）	尾數(定點小數)
0位	1~8位	9~31位

雙精度浮點數double

符號位	階碼 （移碼）	尾數(定點小數)
0位	1~11位	12~63位

IEEE-754中尾數的規格化有所不一樣，以前咱們說尾數規格化規定小數點後爲1，IEEE-754中就將此固定的1設爲默認值去掉了，所以尾數域表示的值爲1.xxxx（只存儲xxxx，1是默認有的），這樣使得尾數表示範圍多上一位。

IEEE-754中階碼的移碼也有特別規定，要除去階碼的全0和全1狀態，所以像float中階碼的取值不是0~255，而是1 ~ 254，也就是說這裏的階碼的移碼不是簡單地由補碼變符號而來，還要減1，換個說法就是偏移量不爲128了，而爲127。因此對於float來講，真正指數的範圍爲-126 ~+127，所表示的數範圍也就爲2^-126 ~2¹²⁷即10^-38 ~10³⁸
舉個栗子

將176.0625表示爲符合IEEE-754標準的單精度浮點數。

1. 首先將176.0625化爲二進制：10110000.0001
2. 尾數規格化：1.01100000001×2⁷，所以尾數域求出來了，爲01100000001
3. 階碼的移碼：7的二進制爲00000111，移碼爲10000110。
4. 拼接：0 10000110 01100000001000000000000 尾數域記得要補0使尾數有23位。