一道小面試算法題的思路

一道小算法題的思路

有這麼一道小面試算法題：給定一個長度爲 n 的整數數組，下標爲 i 的元素表示第 i 天某個股票的價格，每次最多持有一股，每次買賣最多一股，在最多隻買賣一次的狀況下（先買後賣，不考慮融券等複雜形式），最大的收益是多少。

先考察一下可能的數據：

0   1   2   3   4   5   6   7
12   9   6  10   8  22  20  15

因爲是先買後賣，從數據上看，是在 2 處買入，5 處賣出時，獲得收益爲 16 最大。

而在股票一直下跌的狀況下，不買不賣，獲得的收益爲 0 最大。

1. o(n^2) 直觀算法

   最簡單的思路，就是從前向後逐個計算收益，求最大收益，以下：

   price[n]
    max_profit = 0
    for i = 0...n-2:
        for j = i+1...n-1:
            profit = price[j] - price[i]
            if profit > max_profit:
                max_profit = profit

   這個算法的複雜度爲 o(n^2) ，能不能繼續優化？

2. o(n) 算法

   用概括法分析一下，在第 n-1 天時，最大收益爲 max_profit ，其中最小的價格爲 min_price，那麼第 n 天時，最大的收益計算爲：

   if price[n] - min_price > max_profit:
        max_profit = price[n] - min_price

   所以，可把算法改成：

   price[n]
    max_profit = 0
    min_price = price[0]
    for i = 1...n-1:
        profit = price[i] - min_price
        if profit > max_profit:
            max_profit = profit
        if min_price > price[i]:
            min_price = price[i]

   變化爲 o(n) 複雜度。

3. 推廣變化

   如今，考慮更加複雜的形式，先來個容許不限次數的買賣，那麼，在每個遞增的子區間，都能獲得收益，總收益爲各個收益的和：

   price[n]
    sum_profit = 0
    for i = 1...n-1:
        profite = price[i] - price[i-1]
        if profite > 0:
            sum_profit += profit

   再複雜一點，容許進行融券形式（即容許從券商借出後先賣後買），一樣限制最多持有或融入 1 股，在結束前使得手上股票數爲 0 。這種規則下，股票價格升降都會獲得收益，總收益爲：

   price[n]
    sum_profit = 0
    for i = 1...n-1:
        profite = price[i] - price[i-1]
        if profite < 0:
            sum_profite += -profite
        else:
            sum_profite += profite

   在此基礎上，還能夠放開一些限制條件，如不限制持有的數量等等。更進一步，可設定一個收益目標，符合收益目標的買賣組合，這樣就更加現實意義有意思了。