映射

設$X$和$Y$是兩個非空集合，若是存在一個法則$f$，使得對$X$中每個元素$x$
根據法則$f$，在$Y$中有惟一肯定的元素$y$與之對應，則稱$f$爲從$X$到$Y$的映射，記做：$f:X \to Y$

其中$y$稱爲元素$x$在映射$f$下的象，記做：$f(x)$，即$y=f(x)$

元素$x$稱爲$y$在映射$f$下的一個原象

集合$X$稱爲映射$f$的定義域，記做：$D_{f}$

$X$中全部元素的象所組成的集合稱爲映射$f$的值域，記做：$R_{f}$或$f(X)$，即$R_f=f(X)=\{f(x)|x \in X\}$

 

滿射
　　設有映射$f:X \rightarrow Y$，若是$R_f=Y$，即$Y$中任一元素$y$都是$X$中的某個元素$x$的象：$y=f(x)$，則稱$f$爲$X$到$Y$的滿射
　　$f:X \rightarrow Y$是滿射$\Leftrightarrow \forall y \in Y，\exists x \in X(y=f(x))$

單射
　　設有映射$f:X \rightarrow Y$，若是對集合$X$中任意兩個不一樣的元素$x_{1} \neq x_{2}$，它們的象也不一樣：$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$，則稱$f$爲$X$到$Y$的單射
　　$f:X \rightarrow Y$是單射$\Leftrightarrow \forall x_{1}，x_{2} \in X(x_{1} \neq x_{2}) \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

雙射
　　若是映射$f:X \rightarrow Y$既是單射，又是滿射，則稱$f$爲$X$到$Y$的雙射(或一一映射)
　　若是$f:X \rightarrow Y$是單射，則$f:X \rightarrow R_{f}$爲雙射

逆映射

　　設$f:X \rightarrow Y$是單射(則：$f:X \rightarrow R_{f}$爲雙射)，則對每個$y \in R_{f}$，有惟一的$x \in X$，使得$f(x)=y$
　　所以咱們能夠定義一個映射$\varphi：R_{f} \rightarrow X$，使$\varphi(y)=x(y=f(x))$
　　這個映射$\varphi$稱爲$f$的逆映射，記做$f^{-1}:R_{f} \rightarrow X$，即$f^{-1}(y)=x(y=f(x))$.$f_{-1}$的定義域爲$R_{f}$，值域爲$X$
　　設$f:X \rightarrow Y$是雙射，則$f$的逆映射$f^{-1}:Y \rightarrow X$也是雙射，且$f^{-1}[f(x)]=x(\forall x \in X)$，$f[f^{-1}(y)]=y(\forall y \in Y)$
　　映射$f:X \rightarrow Y$有逆映射(可逆)的充分必要條件是$f$爲單射

 

滿射，單射和雙射的比較

           

 

  

 

　　單射就是隻能一對一，不能多對一

　　滿射只要Y中的元素在X中都能找到原像就好了(一對一，多對一都行).

　　雙射就是既是單射又是滿射(一個對一個,每一個都不漏掉).