相對友好的 AVL Tree 教程

平衡的意義

以前學習了二叉搜索樹，知道這種結構基於折半的原理，在查找的時候效率很高，理想的狀況下時間複雜度爲 O(log n) ，那不理想的狀況又是怎樣的呢？舉個例子，根據二叉搜索樹的特性，插入 { 6，5，4，3，2，1 } 這組數據，最終生成的二叉樹以下：

要判斷這棵樹中是否存在 1 。 1 處在這棵樹的最底部，而且這個棵樹呈現出一邊倒的形狀，致使找 1 時遍歷了全部的節點，這種狀況下時間複雜度爲 O(n) 。可見一旦二叉搜索樹失去了平衡也就失去了效率，理想的二叉搜索樹，是樹的節點「均勻」分佈在根節點兩側，才能知足時間複雜度 O(log n) 。

平衡的定義

怎樣纔算「均勻」分佈呢？對於樹中的節點，不能只讓左或右孩子獨得恩寵，雨露均沾纔是王道。 Wikipedia 給出了定義：

二叉搜索樹中，對於任意節點，右子樹與左子樹高度差不超過 1 ，則認爲這棵樹是平衡的。

這個定義有個官方的名字 平衡因子（Balance factor），平衡因子只多是「1，0，-1」，注意是右子樹的高度 - 左子樹的高度。有了這個規定，失衡的現象就能有所緩解了。俗話說不患貧而患不均，雖然「1，-1」目前是可接受的，卻爲未來的失衡埋下伏筆。這種致使失衡的隱患 Wikipedia 給出了定義：

平衡因子爲 1 則該節點右重（right-heavy），平衡因子爲 -1 則該節點左重（left-heavy）

4 種失衡

上面說到可能致使失衡的隱患，分別是右重和左重。你可能在不少地方看到 LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左），搞得跟祕籍鍵似的這 TM 到底指的是啥？其實就是下面的 4 種失衡狀況：

LL（左左）：2 是 3 的 左子樹，2 左重；

RR（右右）：2 是 1 的右子樹，2 右重

LR（左右）：1 是 3 的左子樹，1 右重

RL（右左）：3 是 1 的右子樹，3 左重

樹的旋轉

「症狀」有了，就須要對症下藥了。正常的思路是，哪邊高了就下降其高度，可是要注意二叉搜索樹中的節點是有順序的（左<中<右），如何下降高度也是有講究的。這裏就引入一個很重要的操做——旋轉，旋轉能知足只改變樹的結構，又符合節點的排列順序。你可能在不少地方看到，爲了保證樹的平衡，會有左旋或右旋的操做，這裏的左旋、右旋具體指的又是啥？ Wikipedia 上的介紹

當說到旋轉時，是指對某個節點旋轉（上圖對 Q 右旋，對 P 左旋），仔細觀察發現，右旋使得 Q 的左孩子 P 取代了本身原來的位置，左旋使得 P 的右孩子 Q 取代了本身原來的位置，記住這一點很重要哈。

上面動圖直觀的感覺就是右旋後右子樹高度升高，左子樹高度下降；左旋後左子樹升高，右子樹高度下降；除此以外，旋轉的過程當中也涉及到節點的交換

從上圖能夠看到，當簡單地說右旋，其實展開來講是指：

• 根節點 5 右旋，首先將左子樹 3 的右孩子 4 做爲此時根節點 5 的左孩子；
• 再將 5 這棵樹做爲新根節點 3 的右子樹；

左旋反之；由於這樣很囉嗦，平時不會這麼說，但這背後的原理得知道。此外旋轉後節點仍是符合大小排列順序，這正是咱們所但願的。

AVL 樹

說了半天，這 AVL 樹是個啥？這個有點「黃」的名字來源於它的發明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，名字不重要，功能才重要，它能在失衡的狀況下經過旋轉從新實現平衡，所以它的時間複雜度爲 O(log n)。上面介紹了 4 種失衡的狀況，如今分別介紹 AVL 樹是如何作到從新平衡的：

LL（左左）: 假設要在下面這棵樹中插入 3

9
     / \
    7   10
   / \
  6   8
複製代碼

首先要作的是先肯定各個節點的平衡因子：

9(-1)
         /       \
       7(0)      10(0)
      / \
  6(0)   8(0)
複製代碼

插入 3 後：

9(-1?)
          /      \
        7 (0?)   10(0)
       /   \
   6(-1)   8(0)
   /
 3(0)
複製代碼

注意這裏對可能影響到的路徑後面加了個 ？，是由於此時他們的平衡因子還不肯定，須要從新計算，因爲 7 的左子樹高度加 1 ，7 的平衡因子也變了：

9(-1?)
          /      \
        7(-1)    10(0)
       /   \
   6(-1)   8(0)
   /
 3(0)
複製代碼

最後，相應的 9 的平衡因子也變了：

9(-2)
          /      \
        7(-1)    10(0)
       /   \
   6(-1)   8(0)
   /
 3(0)
複製代碼

根據上面學的內容，這種左重的狀況右旋後能夠達到平衡，找到負載因子爲 -2 的節點（9）右旋，剩下的就是上面已經介紹過的，節點交換什麼的。以下：

RR（右右）: 假設要在下面這棵樹種插入 12

8
     / \
    7   10
        / \
       9   11
複製代碼

先肯定各個節點的平衡因子：

8 (+1)
         /       \
       7(0)      10(0)
                  / \
               9(0)  11(0)
複製代碼

插入 12 後，直接跳到最後一步：

8(+2)
         /       \
       7(0)      10(+1)
                  / \
               9(0)  11(+1)
                       \
                       12(0)
複製代碼

這種右重的狀況左旋後能夠達到平衡，找到負載因子爲 +2 的節點（8）左旋：

LR（左右）：假設要在下面這棵樹中插入 9

10
     / 
    7   
複製代碼

先肯定各個節點的平衡因子：

10(-1)
         /       
       7(0)    
複製代碼

插入 9 後，直接跳到最後一步：

10(-2)
         /      
       7(+1)    
        \         
        9(0)
複製代碼

按照以前的套路，這種左重的狀況須要右旋，找到負載因子爲 -2 的節點（10）右旋，結果咋樣呢？

7(+2)
           \     
           10(-1)    
           /    
         9(0)
複製代碼

發現套路很差使了，這裏就要用到兩次旋轉，第一次將旋轉將 LR（左右）變成熟悉的 LL（左左），第二次旋轉就能夠用以前的套路了

10                              10                                9
         /                               /                                 /  \ 
       7          (將 7 左旋) --->       9          (將 10 右旋) --->       7   10 
        \                              /
        9                             7
複製代碼

RL（右左）：假設要在下面這棵樹中插入 9

8
        \  
         10  
複製代碼

先肯定各個節點的平衡因子：

8(+1)
        \  
         10(0)  
複製代碼

插入 9 後，直接跳到最後一步：

8(+2)
        \  
         10(-1)  
         /
        9(0)
複製代碼

一樣要用到兩次旋轉，第一次將旋轉將RL（右左）變成熟悉的 RR（右右），第二次旋轉就能夠用以前的套路了

8                                8                                9
        \                               \                              /  \
         10       (將 10 右旋) --->        9       (將 8 左旋) --->     8    10
         /                                 \ 
        9                                   10
複製代碼

Enjoy –☺