求逆序對的各類算法

目錄

• 1.冒泡排序
  • 思想
  • 代碼：
• 2.歸併排序
  • 思想
  • 代碼
• 3.樹狀數組
  • 思想
  • 代碼
• 4.線段樹
  • 思想
  • 代碼

設\(A\)爲一個有\(n\)個數字的有序集\((n>1)\)，其中全部數字各不相同。

若是存在正整數\(i,j\)使得\(1 ≤ i < j ≤ n\)並且\(A[i] > A[j]\)，則\(<A[i], A[j]>\)這個有序對稱爲\(A\)的一個逆序對，也稱做逆序數。
——百度

1.冒泡排序

思想

咱們的冒泡排序的思想十分簡單，咱們每一次循環都將最大的數排到最後面。咱們每交換一次就是一個逆序對。

咱們冒泡排序有一個簡單的小優化：若是咱們某一輪沒有交換了，咱們的序列即爲有序。

代碼：

for(int i=1;i<=n;i++) {
	bool flag=1;
	for(int j=1;j<=n-i;j++)
		if(a[j]>a[j+1]) swap(a[j],a[j+1]),flag=0,ans++;
	if(flag) break;
}

時間複雜度\(O(n^2)\)。

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2.歸併排序

思想

咱們首先來了解一下歸併排序的思想：二分和合並。

三部曲：
1.劃分：把序列分紅元素個數儘可能相等的兩半
2.遞歸求解：把兩半元素分別排序
3.合併問題：把兩個有序表合併爲一個

合併：每次只需把左右兩邊序列的最小元素進行比較，把其中較小的元素加入到合併後的輔助數組中。

void msort(int s,int t) {
	if(s==t) return ;
	int mid=(s+t)>>1;
	msort(s,mid),msort(mid+1,t);
	
	int i=s,j=mid+1,k=s;
	while(i<=mid && j<=t) {
		if(a[i]<=a[j]) r[k]=a[i],k++,i++;
		else r[k]=a[j],k++,j++;
	}
	
	while(i<=mid) r[k]=a[i],k++,i++;
	while(j<=t) r[k]=a[j],k++,j++;
	for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=r[i];
	return ;
}

咱們能夠假設左邊序列爲\({3，4，7，9}\)，右邊爲\({1，5，8，10}\)

咱們的第一步就是比較\(1\)和\(3\)，由於\(1<3\)，因此\(1\)入預備數組。

咱們這時候能夠發現，咱們的\(1\)與左邊序列的\(3\)和\(3\)以後的數都是逆序對，一共就\(4\)對了。這也是歸併排序找逆序對快的緣由。

咱們只須要在\(a[i]>a[j]\)時，答案加上\(mid-i+1\)。

代碼

void msort(int s,int t) {
	if(s==t) return ;
	int mid=(s+t)>>1;
	msort(s,mid),msort(mid+1,t);
	
	int i=s,j=mid+1,k=s;
	while(i<=mid && j<=t) {
		if(a[i]<=a[j]) r[k]=a[i],k++,i++;
		else r[k]=a[j],k++,j++,ans+=mid-i+1;
	}
	
	while(i<=mid) r[k]=a[i],k++,i++;
	while(j<=t) r[k]=a[j],k++,j++;
	for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=r[i];
	return ;
}

時間複雜度\(O(n\ log\ n)\)。

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3.樹狀數組

樹狀數組
咱們的樹狀數組也是能夠求逆序對的。

思想

實際上就是統計當前元素的前面有幾個比它大的元素的個數，而後把全部元素比它大的元素總數累加就是逆序對總數。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1005],lsh[1005],BIT[1005];

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void update(int k,int x) {
	for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i)) BIT[i]+=x;
	return ;
}

int ask(int x) {
	int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=BIT[i];
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),lsh[i]=a[i];
	sort(lsh+1,lsh+n+1);//離散化
	unique(lsh+1,lsh+n+1)-lsh-1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		update(a[i],1);//在a[i]這個位置上加1
        ans+=i-ask(a[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

時間複雜度\(O(n\ log\ n)\)。

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4.線段樹

思想

逆序對能夠表示成一個數前面有幾個比這個數大的數，就表示這個數所造成的逆序對數。

咱們查找就是：
找\(a[i]+1\)~\(Max\)的值。

咱們加入就是:
\(a[i]\)這個位置的數量加\(1\)。

咱們最後把查找到的全部對數輸出便可。

但咱們的數可能很大，咱們這時就須要使用到離散化了。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[500005],lsh[500005],maxx;
struct SementTree{ int l,r,sum; }t[2000005];

void read(int &x) {
    int f=1; x=0; char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0' && ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    x*=f;
}

void init() {
	sort(lsh+1,lsh+n+1);
	unique(lsh+1,lsh+n+1)-lsh-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
	return ;
}

void build(int p,int l,int r) {
	t[p].l=l,t[p].r=r,t[p].sum=0;
	if(l==r) { return ; }
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
	return ;
}

void update(int p,int u) {
	if(t[p].l==t[p].r) { t[p].sum++; return ; }
	int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
	if(u<=mid) update(p<<1,u);
	else update(p<<1|1,u);
	t[p].sum=t[p<<1].sum+t[p<<1|1].sum;
	return ;
}

int ask(int p,int l,int r,int ll,int rr) {
	if(ll<=l && r<=rr) return t[p].sum;
	int mid=(l+r)>>1;
	int ans=0;
	if(ll<=mid) ans+=ask(p<<1,l,mid,ll,rr);
	if(mid<rr) ans+=ask(p<<1|1,mid+1,r,ll,rr);
	return ans;
}

int main() {
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),lsh[i]=a[i],maxx=max(maxx,a[i]);
	
	init();
	
	build(1,0,maxx);
	
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans+=ask(1,0,maxx,a[i]+1,maxx);
		update(1,a[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}