ECC ~ Edge-Conditioned Filter in CNN on Graphs

ECC的卷積操做和常規的二維圖像卷積操做都是一種加權平均操做，不一樣之處在於ECC能夠做用在任何圖結構上，而且其權重由節點間的邊權所決定.

考慮$G=(V,E)$, 其中$|V|=n$ 邊 $E \in V*V$ , 其中$|E|=m$, 具備$l \in {0,....l_{max}}$ 前向神經網絡. 假設 邊和頂點有相同的label, 存在一個

頂點的特徵表示爲$X^{l}:V \rightarrow \mathbb{R}^{d_{l}}$,  每一個邊的特徵表示 $L: E \rightarrow \mathbb{R}^{s}$,  能夠獲得頂底的特徵矩陣 和 邊的特徵矩陣:

$X^{l} \in \mathbb{R}^{n * d_{l}}, L \in \mathbb{R}^{m * s}$

頂點i的鄰居節點表示爲:

$N(i) = {j;(j,i) \in E } \bigcup {i}$

計算頂點$i$ 第l層的特徵向量 $X^{l}(i) \in \mathbb{R}^{d_{l}}$, 能夠經過l-1層他的鄰居節點特徵的加權和獲得$X^{l-1}(j) \in R^{d_{l}-1}$ , 借用動態濾波器網絡的思想,

定義了一個filter-generating 網絡(核心):

$F^{l} : R^{s} \rightarrow \mathbb{R}^{d_{l}*d_{l-1}}$

將邊標籤$L(j,i)$ 做爲輸入, 輸出 每條邊決定的權重矩陣:

$\Theta_{j,i}^{l} \in  \mathbb{R}^{d_{l} * d_{l-1}}$

 

 

 這個邊條件卷積(ECC)可以表示爲:

$X^{l}(i) =\frac{1}{|N(i)|} \sum_{j \in N(i)} F^{l}(L(j,i),; w^{l}) X^{l-1} (j) + b^{l}$

$= \frac{1}{|N(i)|} \sum_{j \in N(i)} \Theta_{ji}^{l}(j) + b^{l} $

$F^{l}$是由可學習網絡權值$w^{l}$的參數化。$\Theta_{ji}^{l}(j)$是爲特定輸入圖中的邊標籤動態生成的參數。

其中filter-generating 網絡$F^{l}$ 可以經過MLP 產生.