最長公共子序列(LCS)

問題描述
子串應該比較好理解，至於什麼是子序列，這裏給出一個例子：有兩個母串

• cnblogs
• belong

好比序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過而且出現順序與母串保持一致，咱們將其稱爲公共子序列。最長公共子序列(Longest Common Subsequence,LCS)，顧名思義，是指在全部的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列爲blog（cnblogs,belong），最長公共子串爲lo（cnblogs, belong）。
求解算法
對於母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS與最長公共子串。
假設Z=<z1,z2,⋯,zk>是X與Y的LCS， 咱們觀察到：
- 若是Xm=Yn，則Zk=Xm=Yn，有：Zk−1是Xm−1與Yn−1的LCS；
- 若是Xm≠Yn，則Zk是Xm與Yn−1的LCS，或者是Xm−1與Yn的LCS。

所以，求解LCS的問題則變成遞歸求解的兩個子問題。可是，上述的遞歸求解的辦法中，重複的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間，用數組保存中間狀態，方便後面的計算。這就是動態規劃（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二維數組c[i][j]記錄串x1，x2，⋯，xi與y1，y2，⋯，yj的LCS長度，則可獲得狀態轉移方程：

由最長公共子序列問題的最優子結構性質可知，要找出X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最長公共子序列，可按如下方式遞歸地進行：當xm=yn時，找出Xm-1和Yn-1的最長公共子序列，而後在其尾部加上xm(=yn)便可得X和Y的一個最長公共子序列。當xm≠yn時，必須解兩個子問題，即找出Xm-1和Y的一個最長公共子序列及X和Yn-1的一個最長公共子序列。這兩個公共子序列中較長者即爲X和Y的一個最長公共子序列。
在算法LCS中，每一次的遞歸調用使i或j減1，所以算法的計算時間爲O(m+n)。
代碼實現

 1 int lcs(String str1, String str2) {
 2 int len1 = str1.length();
 3 int len2 = str2.length();
 4 int c[][] = new int[len1 + 1][len2 + 1];
 5 for (int i = 0; i <= len1; i++) {
 6 for (int j = 0; j <= len2; j++) {
 7 if (i == 0 || j == 0) {
 8 c[i][j] = 0;
 9 } else if (str1.charAt(i - 1) == str2.charAt(j - 1)) {
10 c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
11 } else {
12 c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
13 }
14 }
15 }
16 return c[len1][len2];
17 }