NOIP 初賽筆記

// zj蒟蒻瑟瑟發抖。。

// 停課了。要好好努力！——10月8日8:29於機房

 

1. 1946 年 美國 -> 第一臺計算機

 

 

2. 真空電子管 -> 晶體管 -> 集成 -> 大規模集成

 

 

3. 字長：8位（8 bit）這種東西 balabala。。

 

 

4. 主頻：about 運算速度 e.g. pii300 -> 主頻300Hz

 

 

5. 工廠自動化（FA）.

　　　　CAD -> design;　　　　　　　　CAI -> 輔助教學

　　　　CAM -> manufacture;　　　　　EDI -> 電子數據交換（關於無現金交易這樣子）

　　　　CAT -> test;　　　　　　　　　　OA -> office automation;

 

 

6. 硬件結構：馮·諾依曼式（美籍匈牙利人） -> 運算器 / 控制器 / 存儲器 / 輸入（出）設備　　=> 存儲程序的概念

 

 

7. 卡特蘭數：$C_n=\frac{C^n_{2n}}{n+1}$

　　　　　　用途：1. 長度爲 n 的進棧序列 1,2,3，...，n，求出棧種數

　　　　　　　　　2. 在 （n+2） 邊凸多邊形內連若干不相交的對角線來劃分三角形，求問幾種？

　　　　　　　　　3. n 個節點排 BST

　　　　　　　　　4. n 對括號內有幾種是匹配的？（in 所有狀況）

 

 

8. 二叉樹：$n_0=n_2+1$     對於k叉樹，聯立邊關係和點關係，也就是$n=n_0+n_1+...+n_k$（點關係）和 $n-1=k*n_k+...+n_1$，因而可推出。

 

 

9. 約瑟夫環問題：當n爲2的冪次時，最後留下的都是1；當n不是的時候，兩個2的冪次之間，留下的人的編號爲3,5,7,9，......

　　k階約瑟夫問題：O(n) DP ：$f(1)=0$; $f(n)=(f(n-1)+k)mod\;n$  出現0是由於mod的緣故，+1就能夠了

　　

n的值	隊列	活下的人
1	1	1
2	1 2	1
3	1 2 3	3
4	1 2 3 4	1
5	1 2 3 4 5	3
6	1 2 3 4 5 6	5
7	1 2 3 4 5 6 7	7
8	1 2 3 4 5 6 7 8	1

 

 

10. 08年提升問題求解T2（21本書選四本，每兩本編號不相鄰）：可有$1\le x_1<x_2-1<x_3-2<x_4-3\le18$，即將不連續的$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$映射到[1,18]的連續區間上，也就至關於$C_{18}^4$，故答案爲3060.

 

 

11. 99年提升：n條折成角的直線，劃分平面數目爲$2n^2-n+1$。推論：直線分割平面：$\frac{n(n+1)}{2}+1$；封閉曲線（如通常位置上的圓）分割平面：$n^2-n+2$；平面分割空間：$\frac{n^3+5n}{6}+1$。

 

 

12. 07年普及：n個數劃分r個非空集合，有$S(n,1)=1$; $S(n,n)=1$; $S(n,r)=S(n-1,r-1)+r\times S(n-1,r)$。$S(n-1,r-1)$不用乘係數，由於在向下推的時候已經包含了固定各個數的狀況。據說也是第二類斯特林數。

 

 

13. 06年提升：三角形路徑數目。一種解釋是：路徑惟一，從倒數第二層到終點有且僅有n-1種方法，再向上同理，爲n-2種。根據乘法原理，n層三角形的方案數目是$(n-1)!$

 

 

14. x個a，y個b，z個c排字符串，包含子串'abc'的種數：捆一個abc，算全排列；捆兩個，減去；捆三個，加上。e.g. 3個a，5個b，3個c，種數：$\frac{9!}{2!4!2!}-\frac{7!}{2!3!}+\frac{5!}{2!3!}$

 

 

15. 圓桌問題之相鄰不重複。有n我的坐在一張圓桌上吃飯，要求天天每個人兩邊相鄰的人不一樣，問這樣最多能夠安排多少天？如3我的時只能1天，4我的時也只能是1天，而5我的能夠安排2天。那麼抽象爲n個節點的無向圖，每個節點都去和其餘全部節點連邊，總邊數爲$\frac{n(n-1)}{2}$，每一天事後都刪去n條邊，因此獲得的結論就是$\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

 

 

16. 強制類型轉換：(類型)(表達式)。事實上，除非表達式是單個變量，不然都要加括號。e.g. (int)x+y 的含義是將x轉換爲int之後和y相加，與(int)(x+y)的含義是不一樣的。

 

 

17. 由數字1,1,2,4,8,8所組成的不一樣的四位數的個數是102。算法：不能直接$C^4_6\;A^4_4$而後幹嗎幹嗎。。正解應當分類討論

　　一：①一、一、二、4；②一、一、二、8；③一、一、四、8；④一、二、八、8；⑤一、四、八、8；⑥二、四、八、8這6組，他們的方案數都是$\frac{A_4^4}{2!}$，總的就是$6\times 12$，72種；

　　二：僅有一、二、四、8組成固然就是4個全排列；

　　三：一、一、八、8去排；

　　答案就是$72+24+6=102$。

 

 

18. 14提升選擇：同時查找2n 個數中的最大值和最小值，最少比較次數爲( )。正解：兩兩比較，大的和max去比，小的和min去比。第一組比較一次獲得max和min；後面$2\times (n-1)$個數，兩兩比較須要$n-1$次，每個還會去和max/min比較一次，也就是$2\times (n-1)$次，綜上，即爲$3\times (n-1)+1$次。

 

 

19. 應用快速排序的分治思想，能夠實現一個求第k大數的程序。假定不考慮極端的最壞狀況，理論上能夠實現的最低的算法時間複雜度是。。。O（n）！

　　呃，事實上，在作的時候，分治的另外一個區間是能夠拋掉的。也就是說，雖然進行了二分，$T(n)=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...$ 所以漸進複雜度爲O（n）。

 

 

20. 世紀難題：約瑟夫好人壞人version，還沒有知道數學解法，沒法手算qwq；

 

 

21. 對於一個無向圖，他不是聯通圖意味着一定存在一個節點的度爲0；對於任何一個圖，不存在奇環是其爲二分圖的充要條件；

 

 

22. 任何一個算法的空間複雜度都不大於其時間複雜度；

 

 

23. while(1)rp++；