量子電路

量子電路的兩點特殊

Axiom 1： Superposition principle

量子態是能夠疊加的。

而疊加態的性質賦予了量子指數增加的可能。

一個量子比特就是二維Hilbert空間中的向量，兩個量子比特就是四維Hilbert空間的中向量，三個就是八維， \(n\) 個量子比特就是 \(2^n\) 維Hilbert空間中的向量。

另外，須要注意的一點是，即便我只是在一個量子比特上操做，變化的也是整個系統。

Axiom 2： Unitary Evolution

量子電路和經典另外一個重要的不一樣就是量子電路是可逆的。

經典電路沒有可逆的要求，好比OR門，若是輸出是１，你知道輸入是什麼嗎？(1,1)、(1,0)、(0,1)都有可能，由於信息丟失了，四種輸入的可能，輸出卻只有兩種，信息丟失了。

而量子的操做變換則必須是酉變換，即，可逆，我能夠根據我輸出的信息反推個人輸入。

量子可逆電路

經典可逆電路實際上是比較容易的。

NOT門，他本身就是可逆的，取反再取反就是自己。

AND門，C-SWAP門其實就能夠代替AND門

將z固定爲0，則c只有在x和y都爲1的時候爲1，其他時候爲0，知足AND門的要求。同時由於有a和b的存在，能夠輕易的推導出x,y。

若是將但願可以從輸出推導出輸入，那麼顯然，會有junk bit(垃圾比特)的存在，即除了咱們想要目標之外的結果，不是咱們想要的目的，可是是咱們推導輸入不可或缺的存在，對於C-SWAP門來講，就是a,b。

junk bit對於經典比特來講，就是多出來的比特而已，可是對於量子比特來講，倒是須要被remove的東西。若是不處理，會影響後續的計算。因此說，設計量子電路，第一個問題其實不是量子電路可以比經典電路加速多少倍，而是量子電路是否能夠作到經典電路作到的事。

爲何要移除垃圾比特

對於經典比特來講，我不須要的比特，直接不要就能夠了。個人後續操做中不涉及這些垃圾比特就沒有關係，可是由於有量子相干的存在，若是我直接無論垃圾比特會讓後續的測量獲得徹底不同的結果。

例子：

令咱們的目標函數是f(x)=x，A是沒有垃圾比特的狀況，即，咱們輸入什麼輸出什麼。而B是有垃圾比特狀況，第一個比特存目標答案，f(x)=x，第二個比特是咱們的垃圾比特，假設這裏的垃圾比特是junk(x)=x。

例子A：

在A的狀況下，若是咱們的輸入是 \(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ，通過A門，仍是 \(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ，在H門後，咱們的比特又變成了 \(|0\rangle\) ，此時測量，獲得的結果必定是 \(|0\rangle\) 。

例子B：

在B的狀況下，若是咱們的輸入是 \((\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)|0\rangle\) ，通過A門，則變成了\(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\) ，此時對第一個比特進行H門操做，獲得結果 \(\frac{1}{2}|00\rangle + \frac{1}{2}|10\rangle+\frac{1}{2}|10\rangle - \frac{1}{2}|10\rangle\) 。此時對第一個比特測量，獲得的結果是 \(|0\rangle\) 或者是 \(|1\rangle\) 的機率是同樣的。

由於有了第二個比特的存在，因此上述式子中的 \(-\) 不能直接抵消第一個比特爲 \(|1\rangle\) 的可能性，這也就是垃圾比特不得不移除的緣由。

如何移除垃圾比特

垃圾比特對後續有影響，那麼將他移除就行了，由於量子的操做是可逆的，因此怎麼來的怎麼回去。

可是在回去以前，把咱們須要的目標 \(C(x)\) 的量子態用CNOT門複製出來就好。這樣就獲得了沒有垃圾比特的結果。

可能有人想問，不是量子態不能複製嗎？事實上，咱們並無複製 \(C(x)\) 的結果，當咱們把結果從原來的比特上轉移到y上後，原來的比特和垃圾比特又經過逆操做返回了最初的狀況。垃圾比特最初的狀態是 \(|0 \rangle\) ，並不是疊加態的狀況，量子的糾纏或者相干是由於有量子疊加態，不是純態的緣由，而今回到純態，就不在形成影響。

參考資料：
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 7