【有向圖】強連通份量-Tarjan算法

很久沒寫博客了（都怪做業太多，絕對不是我玩的太嗨了）

因此今天要寫的是一個高大上的東西：強連通

首先，是一些強連通相關的定義　　//來自度娘

1.強連通圖（Strongly Connected Graph）是指在有向圖G中，若是對於每一對vi、vj，vi≠vj，從vi到vj和從vj到vi都存在路徑，則稱G是強連通圖。

2.有向圖的極大強連通子圖，稱爲強連通份量(strongly connected components)。

固然，看定義是確定看不懂的，因此，我舉個栗子說明一下

咱們如下圖爲例，這是一個特別經典的強連通圖，三個被框起來的地方就分別是三個強連通份量

咱們DFS一下，從一出發，咱們從右至左遍歷，因此路徑即是1——>3——>5——>6，到了6，咱們發現無路可走了，就回到5，而6不能到達任何一個點，因此它獨自爲一個強連通份量。同理，5也是一個強連通份量。而1——>3——>4——>1——>2，能夠互相到達，因此這又是一個強連通份量。

 

Tarjan算法

接下來，就是一個在強連通中，經常使用的一個算法。

Tarjan算法是基於對圖深度優先搜索的算法，每一個強連通份量爲搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時能夠判斷棧頂到棧中的節點是否爲一個強連通份量。

定義DFN(u)爲節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)爲u或u的子樹可以追溯到的最先的棧中節點的次序號。

當DFN(u)=Low(u)時，以u爲根的搜索子樹上全部節點是一個強連通份量。

接下來演示一下算法：

從1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通份量。退棧到u=v爲止，{6}爲一個強連通份量。

 返回到5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧後{5}爲一個強連通份量。

 繼續回到1，最後訪問2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，因此LOW[2]=DFN[4]=5。返回1後，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點所有取出，組成一個連通份量{1,3,4,2}。

 

因此，三個強連通份量所有都找出來了。

模板以下：

 1 void Tarjan(int u){
 2     dfn[u]=low[u]=++num;
 3     st[++top]=u;
 4     for (int i=fir[u]; i; i=nex[i]){
 5         int v=to[i];
 6         if (!dfn[v]){
 7             Tarjan(v);
 8             low[u]=min(low[u],low[v]);
 9         }
10         else if (!co[v])
11             low[u]=min(low[u],dfn[v]);
12     }
13     if (low[u] == dfn[u]){
14         co[u]=++col;
15         while (st[top]!=u){
16             co[st[top]]=col;
17             --top;
18         }
19         --top;
20     }
21 }