【Java基礎】1四、位與(&)操做與快速取模

因爲位運算直接對內存數據進行操做，不須要轉成十進制，所以處理速度很是快。

 

按位與（Bitwise AND），運算符號爲&

a&b 的操做的結果：a、b中對應位同時爲1，則對應結果位也爲一、

例如：

10010001101000101011001111000

& 　　　　　　　　  111111100000000

---------------------------------------------

　　　　　　　　　　　　　　      101011000000000

 

對10101100000000進行右移8位獲得的是101011，這就獲得了a的8~15位的掩碼了。

那麼根據這個啓示，判斷一個整數是不是處於 0-65535(2^16) 之間（經常使用的越界判斷）：

用通常的 (a >= 0) && (a <= 65535) 可能要兩次判斷。

改用位運算只要一次：

a & ~((1<< 16)-1)

1 2 3 4 5 6

Ex: 1 0000 0000 0000 0000                                //1 << 16 = 65536 0 1111 1111 1111 1111                                //(1 << 16) -1 = 65535 1111 11... 0000 0000 0000 0000           　　　　　　  //上一步結果~運算，高位都置1，小於65536的位置0，   a & 1111 .. 0000 0000 0000 0000 　　　　　　　　　　　　 //爲真，說明高位有值，大於65535

　　

後面的常數是編譯時就算好了的。其實只要算一次邏輯與就好了。

 

經常使用技巧：

 

一、 用於整數的奇偶性判斷

 

一個整數a, a & 1 這個表達式能夠用來判斷a的奇偶性。二進制的末位爲0表示偶數，最末位爲1表示奇數。使用a%2來判斷奇偶性和a & 1是同樣的做用，可是a & 1要快好多。

 

二、 判斷n是不是2的正整數冪

 

(!(n&(n-1)) )&& n

 

舉個例子：

若是n = 16 = 10000， n-1 = 1111

那麼：

10000

& 1111

----------

           0

再舉一個例子：若是n = 256 = 100000000， n-1 = 11111111

那麼：

100000000

&11111111

--------------

0

好！看完上面的兩個小例子，相信你們都有一個感性的認識。從理論上講，若是一個數a他是2的正整數冪，那麼a 的二進制形式一定爲1000…..（後面有0個或者多個0），那麼結論就很顯然了。

 

三、 統計n中1的個數

 

樸素的統計辦法是：先判斷n的奇偶性，爲奇數時計數器增長1，而後將n右移一位，重複上面步驟，直到移位完畢。

樸素的統計辦法是比較簡單的，那麼咱們來看看比較高級的辦法。

 

舉例說明，考慮2位二進制數 n=11，裏邊有2個1，先提取裏邊的偶數位10，奇數位01，把偶數位右移1位，而後與奇數位相加，由於每對奇偶位相加的和不會超過「兩位」，因此結果中每兩位保存着數n中1的個數；相應的若是n是四位整數 n=0111，先以「一位」爲單位作奇偶位提取，而後偶數位移位（右移1位），相加；再以「兩位」爲單位作奇偶提取，偶數位移位（這時就須要移2位），相加，由於此時沒對奇偶位的和不會超過「四位」，因此結果中保存着n中1的個數，依次類推能夠得出更多位n的算法。整個思想相似分治法。
在這裏就順便說一下經常使用的二進制數：

0xAAAAAAAA=10101010101010101010101010101010

0x55555555 = 1010101010101010101010101010101（奇數位爲1，以1位爲單位提取奇偶位）

 

0xCCCCCCCC = 11001100110011001100110011001100

0x33333333 = 110011001100110011001100110011（以「2位」爲單位提取奇偶位）

 

0xF0F0F0F0 = 11110000111100001111000011110000

0x0F0F0F0F = 1111000011110000111100001111（以「8位」爲單位提取奇偶位）

 

0xFFFF0000 =11111111111111110000000000000000

0x0000FFFF = 1111111111111111（以「16位」爲單位提取奇偶位）

 

例如：32位無符號數的1的個數能夠這樣數：

 

int count_one(unsigned long n)
{
//0xAAAAAAAA，0x55555555分別是以「1位」爲單位提取奇偶位
n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);

//0xCCCCCCCC，0x33333333分別是以「2位」爲單位提取奇偶位
n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);

//0xF0F0F0F0，0x0F0F0F0F分別是以「4位」爲單位提取奇偶位
n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);

//0xFF00FF00，0x00FF00FF分別是以「8位」爲單位提取奇偶位
n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) + (n & 0x00FF00FF);

//0xFFFF0000，0x0000FFFF分別是以「16位」爲單位提取奇偶位
n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) + (n & 0x0000FFFF);

return n;
}

舉個例子吧，好比說個人生日是農曆 2月11，就用211吧，轉成二進制：

n = 11010011

計算n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);

獲得 n = 10010010

計算n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);

獲得 n = 00110010

計算n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);

獲得 n = 00000101 -----------------à沒法再分了，那麼5就是答案了。

四、對於正整數的模運算（注意，負數不能這麼算）

 

先說下比較簡單的：

乘除法是很消耗時間的，只要對數左移一位就是乘以2，右移一位就是除以2，傳說用位運算效率提升了60%。

乘2^k衆所周知： n<<k。因此你之後還會傻傻地去敲2566*4的結果10264嗎？直接2566<<4就搞定了，又快又準確。

 

除2^k衆所周知： n>>k。

 

那麼 mod 2^k 呢？（對2的倍數取模）

n&((1<<k)-1)

用通俗的言語來描述就是,對2的倍數取模，只要將數與2的倍數-1作按位與運算便可。

好！方便理解就舉個例子吧。

思考：若是結果是要求模2^k時，咱們真的須要每次都取模嗎？

 

在此很容易讓人想到快速冪取模法。

快速冪取模算法

常常作題目的時候會遇到要計算 a^b mod c 的狀況，這時候，一個不當心就TLE了。那麼如何解決這個問題呢？位運算來幫你吧。

 

首先介紹一下秦九韶算法：(數值分析講得很清楚)

把一個n次多項式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改寫成以下形式：

　　f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]

　　= (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]

　　= ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]

　　=. .....

　　= (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].

　　求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即

　　v[1]=a[n]x+a[n-1]

　　而後由內向外逐層計算一次多項式的值，即

　　v[2]=v[1]x+a[n-2]

　　v[3]=v[2]x+a[n-3]

　　......

　　v[n]=v[n-1]x+a[0]

這樣，求n次多項式f(x)的值就轉化爲求n個一次多項式的值。

 

好！有了前面的基礎知識，咱們開始解決問題吧

由(a ×b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.

咱們能夠將 b先表示成就：

b = a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^(t-1) + …… + a[0] × 2^0. (a[i]=[0,1]).

這樣咱們由 a^b mod c = (a^(a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^（t-1） + …a[0] × 2^0) mod c.

然而咱們求 a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。

具體實現以下：

使用秦九韶算法思想進行快速冪模算法，簡潔漂亮

 

// 快速計算 (a ^ p) % m 的值
__int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)
{
if (p == 0) return 1;
__int64 r = a % m;
__int64 k = 1;
while (p > 1)
{
if ((p & 1)!=0)
{
k = (k * r) % m;
}
r = (r * r) % m;
p >>= 1;
}
return (r * k) % m;
}

 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3070

 

五、計算掩碼

好比一個截取低6位的掩碼：0×3F
用位運算這麼表示：(1<< 6) - 1
這樣也很是好讀取掩碼，由於掩碼的位數直接體如今表達式裏。

按位或運算很簡單，只要a和b中相應位出現1，那麼a|b的結果相應位也爲1。就很少說了。

六、子集

　　枚舉出一個集合的子集。設原集合爲mask，則下面的代碼就能夠列出它的全部子集：

　　for (i = mask ; i ; i = (i - 1) & mask) ;