後綴自動機經典操做

看了幾天的後綴自動機，感受這玩意兒確實比較神奇。可是感受本身確定講不明白，就簡單的來寫寫心得和應用吧

性質

一、每一個狀態$s$表明的長度區間爲$(len[fa[s]],len[s])$

也就是說$min(s) = max(s) + 1$

 

二、每一個狀態$s$表明的全部串在原串中的出現次數及出現位置右端點相同。

這也是後綴自動機可以壓縮狀態的緣由，就是把不少相同的串壓縮到一個節點中

 

三、在parent樹中，對於狀態$s$，$fa[s]$所代表的狀態是$s$所表明狀態的後綴

 

四、在parent樹中，每一個狀態的$right$集合是它父節點$right$集合的子集

由性質$3$很容易獲得$fa[s]$所表明的狀態是$s$所表明狀態的後綴，那麼$fa[x]$所表明的子串的出現位置必定比$s$表明子串的出現位置多

 

五、對轉移邊造成的DAG拓撲排序後，每一個節點對應的大小爲：以該節點爲起點的子串的數量（本質相同的子串算一個）

 

六、對$fa$邊造成的樹拓撲排序後，每一個節點對應的大小爲該節點對應$right$集合的大小

$fa[s]$表示的是$s$的前綴，那麼$s$出現的地方$fa[s]$也必定出現

 

經典應用

求兩個串的最長公共子串

首先把第一個串的SAM建出來，

枚舉第二個串，同時沿着轉移邊進行匹配，若匹配失敗，那麼就沿着$fa$邊向上走，

匹配的同時記錄一下$max$

SPOJ1811 LCS 

求多個串的最長公共子串

網上的作法基本都是對第一個串建SAM，而後枚舉其餘的串，在這個串上匹配。

可是貌似要考慮不少東西？？

這裏我將一個比較naive可是不會TLE的作法。

最終的答案必定出如今第一個串中，因此能夠把第$2-N$個串的SAM建出來

而後枚舉第一個串的每一位，在其他的SAM中匹配。

雖然聽着嚇人，可是代碼十分好寫

BZOJ2946 [Poi2000]公共串

求第$k$小子串

咱們能夠經過對轉移邊$dfs$而求出以該節點爲起點的子串的大小

開始時從$root$開始走，每次優先選擇字典序小的轉移邊，

若該出邊對應的大小$<k$，說明答案不在該出邊所對應的字符串中，令$k$減去該節點的大小，繼續匹配

若該出邊對於的大小$>=k$，說明答案在該出邊中，那麼沿着該出邊繼續走

 

注意在求第$k$小子串的時候要考慮本質相同的子串是否重複統計的問題

若是要重複統計，則加上$right$集合的大小就能夠了

 

不重複統計SPOJ7258 SUBLEX

重複統計BZOJ3998: [TJOI2015]弦論

 

字符串最小表示法

最小表示法的定義：

字符串$S$的最小表示法爲，對於任意的$i \in [1, |S|]$，把$[1,i]$對應的字符串剪切到$S$尾所造成的字符串中，字典序最小的一個

 

字符串的最小表示有它本身的算法，能夠參考這裏

固然後綴自動機也是能夠搞的，咱們首先把字符串複製一遍，扔到SAM裏，

而後從根節點出發貪心的走較小的出邊，同時輸出每一次通過的字符，當達到$N$次時中止。

 

可是我仍是建議你們學一下最小表示法的標準算法， 由於後綴自動機須要$4*|S|*siz$的空間($siz$表示字符集)，很容易被卡掉

POJ1509 Glass Beads

 

求本質不一樣的串的數量

考慮到每一個狀態表示的子串是兩兩不一樣的，

根據性質1每一個狀態$s$表明的長度區間爲$(len[fa[s]],len[s]]$

而後對全部節點求個和就好，答案爲$\sum_{t} len[t] - len[fa[t]]$