數據結構（C語言版）-第5章 樹和二叉樹

5.1  樹和二叉樹的定義

樹（Tree）是n（n≥0）個結點的有限集，它或爲空樹（n = 0）；或爲非空樹，對於非空樹T：
（1）有且僅有一個稱之爲根的結點；
（2）除根結點之外的其他結點可分爲m（m＞0）個互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每個集合自己又是一棵樹，而且稱爲根的子樹（SubTree）。

 

二叉樹的定義

二叉樹（Binary Tree）是n（n≥0）個結點所構成的集合，它或爲空樹（n = 0）；或爲非空樹，對於非空樹T：
（1）有且僅有一個稱之爲根的結點；
（2）除根結點之外的其他結點分爲兩個互不相交的子集T1和T2，分別稱爲T的左子樹和右子樹，且T1和T2自己又都是二叉樹。

爲什麼要重點研究每結點最多隻有兩個 「叉」 的樹？
二叉樹的結構最簡單，規律性最強；
能夠證實，全部樹都能轉爲惟一對應的二叉樹，不失通常性。

5.2  案例引入

無

5.3  樹和二叉樹的抽象數據類型定義

CreateBiTree(&T,definition)
      初始條件；definition給出二叉樹T的定義。
      操做結果：按definition構造二叉樹T。

PreOrderTraverse(T)
      初始條件：二叉樹T存在。
      操做結果：先序遍歷T，對每一個結點訪問一次。
InOrderTraverse(T)
      初始條件：二叉樹T存在。
      操做結果：中序遍歷T，對每一個結點訪問一次。
PostOrderTraverse(T)
      初始條件：二叉樹T存在。
      操做結果：後序遍歷T，對每一個結點訪問一次。

5.4  二叉樹的性質和存儲結構

滿二叉樹是葉子一個也很多的樹，而徹底二叉樹雖然前n-1層是滿的，但最底層卻容許在右邊缺乏連續若干個結點。滿二叉樹是徹底二叉樹的一個特例。

二叉樹的順序存儲

實現：按滿二叉樹的結點層次編號，依次存放二叉樹中的數據元素。

二叉樹的鏈式存儲

typedef struct BiNode{ TElemType data; struct  BiNode   *lchild,*rchild; //左右孩子指針
}BiNode,*BiTree;

typedef struct TriTNode { TelemType data; struct TriTNode *lchild,*parent,*rchild; }TriTNode,*TriTree;

5.5  遍歷二叉樹和線索二叉樹

遍歷定義——指按某條搜索路線遍訪每一個結點且不重複（又稱周遊）。
遍歷用途——它是樹結構插入、刪除、修改、查找和排序運算的前提，是二叉樹一切運算的基礎和核心。

遍歷規則

口訣：
DLR—先序遍歷，即先根再左再右
LDR—中序遍歷，即先左再根再右
LRD—後序遍歷，即先左再右再根

先序遍歷算法

Status PreOrderTraverse(BiTree T){ if(T==NULL) return OK; //空二叉樹
  else{ cout<<T->data; //訪問根結點
     PreOrderTraverse(T->lchild); //遞歸遍歷左子樹
     PreOrderTraverse(T->rchild); //遞歸遍歷右子樹
 } }

中序遍歷算法

Status InOrderTraverse(BiTree T){ if(T==NULL) return OK; //空二叉樹
  else{ InOrderTraverse(T->lchild); //遞歸遍歷左子樹
  cout<<T->data; //訪問根結點
     InOrderTraverse(T->rchild); //遞歸遍歷右子樹
 } }

後序遍歷算法

Status PostOrderTraverse(BiTree T){ if(T==NULL) return OK; //空二叉樹
  else{ PostOrderTraverse(T->lchild); //遞歸遍歷左子樹
     PostOrderTraverse(T->rchild); //遞歸遍歷右子樹
     cout<<T->data; //訪問根結點
 } }

時間效率:O(n) //每一個結點只訪問一次
空間效率:O(n) //棧佔用的最大輔助空間

二叉樹的創建

void CreateBiTree(BiTree &T）{ cin>>ch; if (ch==’#’)   T=NULL;      //遞歸結束，建空樹
else{ T=new BiTNode;    T-＞data=ch;                                      //生成根結點
    CreateBiTree(T-＞lchild);  //遞歸建立左子樹
    CreateBiTree(T-＞rchild); //遞歸建立右子樹
 } }

二叉樹遍歷算法的應用

int NodeCount(BiTree T){ if(T == NULL ) return 0; else return NodeCount(T->lchild)+NodeCount(T->rchild)+1; }

int LeadCount(BiTree T){ if(T==NULL)     //若是是空樹返回0
        return 0; if (T->lchild == NULL && T->rchild == NULL) return 1; //若是是葉子結點返回1
    else return LeadCount(T->lchild) + LeadCount(T->rchild); }

二叉鏈表空間效率這麼低，可否利用這些空閒區存放有用的信息或線索？
——能夠用它來存放當前結點的直接前驅和後繼等線索，以加快查找速度。

線索化二叉樹

先序線索二叉樹

中序線索二叉樹

後序線索二叉樹

5.6  樹和森林

樹的存儲結構－－二叉鏈表表示法

typedef struct CSNode{ ElemType data; struct CSNode     *firstchild,*nextsibling; }CSNode,*CSTree;

樹和森林的轉換。。。

5.7  哈夫曼樹及其應用

。。。。。