最段路（基礎未優化）

最短路（基礎未優化）

寫在前面

寫最短路我猶豫了好久，由於最短路它涵蓋的內容不少（四個基礎算法），並且在基礎算法上還有許多不一樣的優化，甚至存邊都有幾種方式，就顯得特別複雜

基本概念

最短路就是求在一個圖中一個點到指定點的最短路程（其實光看名字就猜的出來）。

幾個概念：

1.出發的點叫源點
2.一個點到另外一個點的路程（也能夠理解爲鏈接這兩個點的線段的長度）叫權
3.圖分兩種：有向圖和無向圖。有向圖就像單行道，只能去不能回。而無向圖就像雙行道，能夠去也能夠回。

還有一些例如鬆弛操做這些的概念會在下面進行解釋

基礎算法

存邊

對於一個圖，咱們須要把邊存儲下來。而存儲有兩種方式。

鄰接表

用一個二維數組來存儲。假如用數組k來存儲邊，則

k[i][j]

表示有一條從i到j的邊，權值爲

k[i][j]

前向星

前向星比鄰接表省空間。
前向星分兩種，正常前向星（這名字是我取的，反正就是那個意思）和鏈式前向星。

正常前向星

思路是用3個數組，（這裏假設爲a,b,c)（可能有點難理解）
當

a[m]=i
b[m]=j
c[m]=n（其中m爲常數）

就是表示從i到j有一條邊，權值爲n。
可是假如要排序的話，開三個數組很麻煩，因此我建議用結構體。而結構體的排序方法我在講最小生成樹之kruskarl的時候講過，這裏就再也不贅述。

鏈式前向星

這個是一種鏈式的存邊方法。假如要細講的話，可能又要講一篇文章了，下文也不會使用這個（主要是沒有正常前向星好理解，並且也比較複雜）。
感興趣的話能夠去看這篇博客

https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16902023/

無向邊

以上講的都是存有向邊的方式。存無向邊其實區別不是很大。舉個例子相信一下就懂了。假如你要存一條從i到j的無向邊，你能夠這麼寫

k[i][j]=n;
k[j][i]=n;

就是把終點和起點換一下位置，把終點當起點，把起點當終點。

Floyd

這個算法有一大特色，那就是寫起來極其簡單（核心代碼只有5行），可是運行效率極低（o（n^3）），就讓它顯得很毒瘤，並且數據基本都會卡這種算法。
假如用二維數組

k[i][j]

來存儲從i到j的最段路。
初始化：先把k數組所有賦一個很大很大的值（方便後面比較）
floyd算法以下

for(int k=1;k<=n;k++)//k枚舉途經的節點
        for(int i=1;i<=n;i++)//i枚舉起點
            for(int j=1;j<=n;j++)//j枚舉終點
                if(d[i][j]!=inf&&d[i][k]!=inf)//假如i到k沒有邊，那麼假設不成立，同理，假如i到j沒有邊，這個假設也不成立
                    d[i][j]=min(d[i][k]+d[k][j],d[i][j]);//拿現有的從i到j的最段路和i途經k再到j的總路程作比較。（這就是爲何要把d[i][j]的初始值賦爲一個很大的數）

能夠看一下上面的註釋。。
floyd就是靠三重循環來枚舉起點、途經的點和終點。而後作鬆弛操做。（鬆弛操做就是比大小那一步，有點像三角形的三邊關係）拿現有的從i到j的最段路和i途經k再到j的總路程作比較。也算是一個dp。
這個算法沒啥優化（也沒啥可優化的）。能夠求單源最段路（有向圖中的最段路），也能夠求無向圖的最段路。不能對付負權

這裏順便引入兩個新概念：負權&環
負權：一條權值爲負的路（於現實生活中不存在）。
環：有些時候在有向圖中會同時有從i到j和從j到i的兩條路。他們就組成了一個環。
負權環就是一個很恐怖的東西了，你能夠靠負權環在環裏面不停的刷，這樣你的最短路。。。就成了無限的更短路。。。

dijkstra狄傑斯特拉算法

這是一個很經典的單源最短路的算法。
這個算法的描述我以爲在一本叫算法圖解的書中描述的比較詳細，在這裏就附上書的照片，以爲講得很通俗易懂，應該理解沒有什麼問題。（多圖預警）

總之就是重複那四步，就能夠找出最優解。
算法效率比floyd不知道高到哪裏去了。。
不能對付負權

bellman-ford貝爾曼福德算法

這是一個能夠對付負權的算法
算法：

給你一個由v個點，e條邊的圖，和原點s

數組Distant[i]記錄從源點s到頂點i的路徑長度，初始化

數組Distant[n]爲, Distant[s]爲0；

如下操做循環執行至多n-1次，n爲頂點數：

對於每一條邊e(u, v)，若是Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，則另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)爲邊e(u,v)的權值；

若上述操做沒有對Distant進行更新，說明最短路徑已經查找完畢，或者部分點不可達，跳出循環。不然執行下次循環；

爲了檢測圖中是否存在負環路，即權值之和小於0的環路。對於每一條邊e(u, v)，若是存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的邊，則圖中存在負環路，便是說改圖沒法求出單源最短路徑。不然數組Distant[n]中記錄的就是源點s到各頂點的最短路徑長度。

可知，Bellman-Ford算法尋找單源最短路徑的時間複雜度爲O(V*E).

Bellman－Ford算法能夠大體分爲三個部分

第一，初始化全部點。每個點保存一個值，表示從原點到達這個點的距離，將原點的值設爲0，其它的點的值設爲無窮大（表示不可達）。

第二，進行循環，循環下標爲從1到n－1（n等於圖中點的個數）。在循環內部，遍歷全部的邊，進行鬆弛計算。

第三，遍歷途中全部的邊（edge（u，v）），判斷是否存在這樣狀況：
d（v） > d (u) + w(u,v)

則返回false，表示途中存在從源點可達的權爲負的迴路。

鬆弛操做以前講過，再看一遍複習一下

鬆弛計算以前，點B的值是8，可是點A的值加上邊上的權重2，獲得5，比點B的值（8）小，因此，點B的值減少爲5。這個過程的意義是，找到了一條通向B點更短的路線，且該路線是先通過點A，而後經過權重爲2的邊，到達點B。
固然，若是出現如下狀況

則不會修改點B的值，由於3＋4>6。

spfa留着下次再講（和優化一塊兒）。
會了Bellman－Ford算法和狄傑斯特拉算法就已經能夠作一些最段路的題了，能夠練習一下。

重點理解：鬆弛操做（這玩意真的很重要，基本上最段路的精髓就是它了）

tks！
（參考文獻：https://www.cnblogs.com/tanky... ， 算法圖解）