貪心 窮舉 動態規劃 區別

 

咱們面對的是一個求最優解或統計之類的問題，這個問題基於「咱們要模擬完成一個大任務」，這個大任務能夠分紅若干步驟，每一個步驟有若干種決策，每一個步驟完成後，就到達了一個階段性狀態
好比，你要從A地到Z地，沒有直達，因此第一步須要到一箇中間地點，好比H或I，第二步再前進，好比到P或Q，最後到達Z，每一步有若干決策，好比第一步你能夠決定到H或I的中的某個，大體就是這樣一個模型，能夠本身畫個地圖看看
等等，你大概發現問題了，若是第一步到H和I均可以，第二步到P和Q均可以，那我每一步只選最優，不就用貪心獲得結果了嗎，沒錯，若是你須要經歷的每一個階段狀態跟決策無關，那就貪心獲得結果好了，理解貪心了嗎：）

然而現實狀況多是，你第一步的選擇會影響後面的分支，好比你第一步能夠選擇到H或I，可是到了H後，你只能選擇通過P或Q到Z了，而若是到了I，你只能選擇R或S到Z，這樣一來，即使第一步到H或I你選擇了較好的一條路，也不保證最終結果最優，由於好比你選了H，那萬一I-R-Z的路要比H開始到Z的路徑短了更多，最優路徑多是A-I-R-Z，因此你要把這些路都嘗試一遍，才知道哪一個最優，理解窮舉了麼？：）

OK，咱們稍微改下題設，假如從I出發不是到R和S，而是到Q或R，會如何

誠然，咱們能夠用窮舉每條路來解決這個問題，須要窮舉的路徑數和上面的圖同樣，可是，咱們能夠有更快的辦法，你不用將A-H-Q-Z和A-I-Q-Z兩條路單獨計算，由於他們有狀態交點，結合第一張圖的思想，能夠敏銳地感受到，咱們只須要計算到每一個有共同狀態的位置求各階段的最優，最後每階段選最優組合貪心組合起來就行，由於各階段完成的狀態點是你們都有的嘛，所以，我們先計算A-H-Q和A-I-Q，選個最好的，而後跟Q到Z中最好的拼起來，就是最優了，不必把全部路徑都搞一遍（雖然圖裏面Q到Z直達，但你能夠發揮想象力，將其想象成各類分支的一條複雜道路），這樣一來就把一個x^(a+b+c+...)的計算次數下降爲x^a+x^b+x^c...，其中x表明每次的決策次數（簡單點假設每次決策次數都同樣），abc表明每一個階段的步驟數

所以，咱們能夠從A開始，向Z進行BFS，並對BFS中每一個點保存最優狀態，若是有不一樣的路徑BFS到了同一個點，留最好的一條就行，好比上面這個，你的算法可能先從A-H-Q搜到了Q這個位置，以後從A-I-Q又到了這裏，留最好的一條，最後一輪從PQR三個點到Z，就結束了，相對第二章圖要少一次運算

若是你理解了，恭喜你已經能有效解決不少須要DP的問題了，同時還學會了解圖論的單源最短路徑問題呢

 

最後用經典的0-1揹包問題作個例子，鞏固一下吧，這個任務是，咱們從N個物品選若干塞到能夠承受最大重量W的包包裏面，要價值最大，所以就能夠將任務分紅N個步驟，每一個步驟面對第i號物品，決策有兩條：選，仍是放棄，這裏的狀態，就是影響以後步驟決策的因素，在這裏，就是「揹包的剩餘空間」

好比，物品的重量是1,2,3,4,5,6，W=12，從頭決策，0表示放棄，1表示選，BFS三次後有8種狀態：
000 剩12
001 剩9
……（略）
110 剩9
……（略）
前三次步驟後，001和110到達了一樣的狀態，都是剩餘可裝重量9的東西，這樣在剩下的決策中，這倆分支走的路都是同樣的，跟你以前是選了001仍是110沒有任何關係（無後效性），所以只要看001價值大，仍是110價值大就能夠了，8個狀態減小爲7個，繼續BFS下去，每一輪都合併一樣狀態，完成後，從最後一輪的全部狀態中，找到價值最大的就ok了

因爲狀態最多有W+1個，進行N輪，所以複雜度O(NW)，書上說的狀態遷移方程的辦法其實跟這個過程很相似，不過對於有些題目，比起BFS+狀態合併，狀態方程的分析能夠作更好的優化，如引入單調隊列什麼的，但BFS+狀態合併可讓你獲得一個沒有追求極限可是也比較快的解決方案了，結合具體問題有時候更適合，好比根據問題的實際需求，搜索能夠限界剪枝減小工做量，我在工做中就用過，替換了同事從wiki抄的DP算法，效率能提高一些

 

做者：冒泡
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