【坐在馬桶上看算法】啊哈算法13：零基礎完全弄懂"並查集"

時間 2021-01-22

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我們從一個故事提及——解密犯罪團伙。php

快過年了，犯罪分子們也開始爲年終獎「奮鬥」了，小哼的家鄉出現了屢次搶劫事件。因爲強盜人數過於龐大，做案頻繁，警方想查清楚到底有幾個犯罪團伙實在是太不容易了，不過警察叔叔仍是蒐集到了一些線索，須要我們幫忙分析一下。算法

如今有11個強盜。編程

1號強盜與2號強盜是同夥。數組

3號強盜與4號強盜是同夥。數據結構

5號強盜與2號強盜是同夥。ide

4號強盜與6號強盜是同夥。函數

2號強盜與6號強盜是同夥。ui

7號強盜與11號強盜是同夥。spa

8號強盜與7號強盜是同夥。code

9號強盜與7號強盜是同夥。

9號強盜與11號強盜是同夥。

1號強盜與6號強盜是同夥。

有一點須要注意：強盜同夥的同夥也是同夥。你能幫助警方查出有多少個獨立的犯罪團伙嗎？

要想解決這個問題，首先咱們假設這11個強盜相互是不認識的，他們各自爲政，每一個人都是首領，他們只遵從本身的。以後咱們將經過警方提供的線索，一步步地來「合併同夥」。

第一步：咱們申請一個一維數組f，咱們用f[1]~f[11]分別存儲1~11號強盜中每一個強盜的首領「BOSS」是誰。

第二步：初始化。根據咱們以前的約定，這11個強盜最開始是各自爲政的，每一個強盜的BOSS就是本身。「1號強盜」的BOSS就是「1號強盜」本身，所以f[1]的值爲1。以此類推，「11號強盜」的BOSS是「11號強盜」，即f[11]的值爲11。請注意，這是很重要的一步。

咱們用數組下標來表示強盜的編號

每一個單元格中存儲的是每一個強盜的「BOSS」是誰

第三步：開始「合併同夥」，即若是發現目前兩個強盜是同夥，則這兩個強盜是同一個犯罪團伙。如今有一個問題：合併以後誰纔是這個犯罪團伙的BOSS呢？

例如警方獲得的第1條線索是「1號強盜與2號強盜是同夥」。「1號強盜」和「2號強盜」原來的BOSS都是本身，現在發現「1號強盜」和「2號強盜」實際上是同一個犯罪團伙，那麼到底是讓「1號強盜」變成「2號強盜」的BOSS，仍是讓「2號強盜」變成「1號強盜」的BOSS呢？一個犯罪團伙只能有一個首領。其實無所謂，均可以。咱們這裏假定左邊的強盜更厲害一些，給這個規定起個名字叫做「靠左」法則。也就是說「2號強盜」的BOSS將變成「1號強盜」。所以咱們將f[2]中的數改成1，代表「2號強盜」歸順了「1號強盜」。其實準確地說應該是本來歸順「2號強盜」的全部人都歸順了「1號強盜」纔對，只不過此時「2號強盜」只孤身一人，所以只須要將f[2]的值改成1。不要着急，繼續日後面看，你就知道我爲何這樣說了，以下。

警方獲得的第2條線索是「3號強盜與4號強盜是同夥」，說明「3號強盜」和「4號強盜」也是同一個犯罪團伙。根據「靠左」原則「4號強盜」歸順了「3號強盜」，因此f[4]中的值要改成3，原理和剛纔處理第1條線索是同樣的，以下。

警方獲得的第3條線索是「5號強盜」與「2號強盜」是同夥。f[5]的值是5，說明「5號強盜」的BOSS仍然是本身。f[2]的值是1，說明「2號強盜」的BOSS是「1號強盜」。根據「靠左」法則，右邊的強盜必須歸順於左邊的強盜。此時你可能會將f[2]的值改成5。注意啦！此時若是你將f[2]的值改成5，就是說讓「2號強盜」歸順「5號強盜」。那「1號強盜」可就不幹了，你憑什麼搶個人人？他非跟你幹一架不可。這樣會讓「2號強盜」很難選擇，我究竟歸順誰好呢？

如今我來給你支個招，嘿嘿( ^_^ )古語云「擒賊先擒王」。你直接找「2號強盜」的BOSS「1號強盜」談，讓其歸順「5號強盜」就OK了，也就是將f[1]的值改成5。如今「2號強盜」的BOSS是「1號強盜」，而「1號強盜」的BOSS變成了「5號強盜」，即「1號強盜」帶領手下「2號強盜」歸順了「5號強盜」，這樣全部的關係信息就都保留下來了。以下。

警方獲得的第4條線索是「4號強盜」與「6號強盜」是同夥。f[4]的值是3，f[6]的值是6。根據「靠左」原則，讓「6號強盜」加入「3號犯罪團伙」。咱們須要將f[6]的值改成3。原理和處理第1條和第2條線索相同。

警方獲得的第5條線索是「2號強盜」與「6號強盜」是同夥。f[2]的值是1，f[1]的值是5，即「2號強盜」的大BOSS（首領）是「5號強盜」。f[6]的值是3，即「6號強盜」的BOSS是「3號強盜」。根據「靠左」原則和「擒賊先擒王」原則，讓「6號強盜」的BOSS「3號強盜」歸順「2號強盜」的大BOSS（首領）「5號強盜」。所以咱們須要將f[3]的值改成5，即讓「3號強盜」帶領其手下歸順「5號強盜」。

須要特別注意的是，此時，「5號強盜」團伙內部發生了一些變更。咱們在尋找「2號強盜」的大BOSS（首領）是誰時，順帶將f[2]從1改爲了5，也就是說如今「2號強盜」也變成大BOSS（首領）「5號強盜」的直屬手下了。

這就是強盜團伙的江湖規矩，誰能找到本身幫派的大BOSS（首領），誰就會被大BOSS（首領）提拔，升職加薪，成爲大BOSS（首領）的直屬手下。這種扁平化管理的方式能夠有效地提升強盜團伙找大BOSS的效率，在「並查集」算法中有一個專門的術語，叫做「路徑壓縮」，具體代碼在後面展現。

細心的同窗會問了，剛纔不是說若是直接把f[2]改爲5，「2號強盜」和「1號強盜」之間的關係就斷了嗎？此一時，彼一時。在獲得第3條線索的時候，那時候「1號強盜」和「5號強盜」的關係尚未創建起來，若是把f[2]改成5，「2號強盜」想要找「1號強盜」就找不到了。但到了第5條線索的時候，「2號強盜」和「1號強盜」已經都在大BOSS（首領）「5號強盜」手下工做了，這時候將f[2]改成5，「2號強盜」想找大BOSS（首領）「5號強盜」變得更加方便，而「1號強盜」和「2號強盜」之間的關係也沒有丟失，所以總體上效率變得更高了。

警方獲得的第6條線索是「7號強盜」與「11號強盜」是同夥。f[11]的值是11，f[7]的值是7。根據「靠左」原則，讓「11號強盜」歸順「7號強盜」。咱們須要將f[11]的值改成7。

警方獲得的第7條線索是「8號強盜」與「7號強盜」是同夥。f[8]的值是8，f[7]的值是7。根據「靠左」原則，讓「7號強盜」歸順「8號強盜」。咱們須要將f[7]的值改成8。

警方獲得的第8條線索是「9號強盜」與「7號強盜」是同夥。f[9]的值是9，f[7]的值是8。根據「靠左」原則和「擒賊先擒王」原則，咱們須要將f[8]的值改成9。

警方獲得的第9條線索是「9號強盜」與「11號強盜」是同夥。f[9]的值是9，f[11]的值是7。什麼？他們居然不在同一個犯罪團伙中？這貌似不對吧，經過上圖能夠很顯然地看出來「11號強盜」和「9號強盜」都在同一個犯罪團伙中。不過「11號強盜」並不直屬於大BOSS（首領）「9號強盜」，而是歸順在「7號強盜」的手下。如今來看看「7號強盜」又歸順了誰呢？咱們發現f[7]=8，也就是說「7號強盜」歸順了「8號強盜」。而f[8]=9，也就是說「8號強盜」歸順了「9號強盜」。咱們再來看看「9號強盜」有沒有歸順於別的人。發現f[9]的值仍是9，太牛了！說明「9號強盜」的BOSS仍然是本身，他就是所在團伙的大BOSS（首領）。

咱們剛纔模擬的過程其實就是遞歸的過程。從「11號強盜」順藤摸瓜一直找到他所在團伙的大BOSS（首領）「9號強盜」。剛纔說了，強盜團伙的江湖規矩是，誰能找到本身幫派的大BOSS（首領），就會被提拔爲首領的直屬手下。通過這一次「路徑壓縮」，一路上「11號強盜」「7號強盜」和「8號強盜」，都找到了本身的大BOSS「9號強盜」。下次再問他們的BOSS是誰的時候，他們就能立刻回答出是「9號強盜」啦。

警方獲得的最後一條線索是「1號強盜」與「6號強盜」是同夥。這又是一次「路徑壓縮」的過程。f[1]是5，「1號強盜」的BOSS是「5號強盜」。f[6]是3，「6號強盜」的BOSS是「3號強盜」。f[3]是5，「3號強盜」的BOSS是「5號強盜」。說明「6號強盜」和「1號強盜」是在一個團伙中的，但他如今並非直接跟着團伙的大BOSS（首領）「5號強盜」，而是跟着「3號強盜」。而通過此次「路徑壓縮」，他的BOSS就改爲了「5號強盜」。可是注意，這一次的「路徑壓縮」只發生在「6號強盜」「3號強盜」「5號強盜」這條路徑上，團伙中的「4號強盜」不在被壓縮的路徑上，因此他的BOSS暫時不會改變，仍是「3號強盜」。

好了，全部的線索分析完畢，那麼究竟有多少個犯罪團伙呢？我想你從上面的圖中一眼就能夠看出來了，一共有3個犯罪團伙，分別是5號犯罪團伙（由五、一、二、三、四、6號強盜組成），9號犯罪團伙（由九、八、七、11號強盜組成）以及10號犯罪團伙（只有10號強盜一我的）。從下面這張圖就能夠清晰地看出，若是f[i]=i，就表示此人是一個犯罪團伙的最高領導人，有多少個最高領導人就是有多少個「獨立的犯罪團伙」。最後數組中f[5]=五、f[9]=九、f[10]=10，所以有3個獨立的犯罪團伙。

咱們剛纔模擬的過程其實就是並查集的算法。並查集經過一個一維數組來實現，其本質是維護一個森林。剛開始的時候，森林的每一個點都是孤立的，也能夠理解爲每一個點就是一棵只有一個結點的樹，以後經過一些條件，逐漸將這些樹合併成一棵大樹。其實合併的過程就是「認爹」的過程。在「認爹」的過程當中，要遵照「靠左」原則和「擒賊先擒王」原則。在每次判斷兩個結點是否已經在同一棵樹中的時候（一棵樹其實就是一個集合），也要注意必須求其根源，中間父親結點（「小BOSS」）是不能說明問題的，必須找到其祖宗（樹的根結點），判斷兩個結點的祖宗是不是同一個根結點才行。下面我將「解密犯罪團伙」這個問題模型化，並給出代碼和註釋：

#include <stdio.h>
int f[1001]={0},n,m,sum=0;
//這裏是初始化，很是地重要，數組裏面存的是本身數組下標的編號就行了。
void init()
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
f[i]=i;
return;
}
//這是找爹的遞歸函數，不停地去找爹，直到找到祖宗爲止，其實就是去找犯罪團伙的最高領導人，
//「擒賊先擒王」原則。
int getf(int v)
{
if(f[v]==v)
return v;
else
{
//這裏是路徑壓縮，每次在函數返回的時候，順帶把路上遇到的人的「BOSS」改成最後找
//到的祖宗編號，也就是犯罪團伙的最高領導人編號。這樣能夠提升從此找到犯罪團伙的
//最高領導人（其實就是樹的祖先）的速度。
f[v]=getf(f[v]);//這裏進行了路徑壓縮
return f[v];
}
}
//這裏是合併兩子集合的函數
void merge(int v,int u)
{
int t1,t2;//t一、t2分別爲v和u的大BOSS（首領），每次雙方的會談都必須是各自最高領導人才行
t1=getf(v);
t2=getf(u);
if( t1!=t2 ) //判斷兩個結點是否在同一個集合中，便是否爲同一個祖先。
{
f[t2]=t1;
//「靠左」原則，左邊變成右邊的BOSS。即把右邊的集合，做爲左邊集合的子集合。
}
return;
}
//請今後處開始閱讀程序，從主函數開始閱讀程序是一個好習慣。
int main()
{
int i,x,y;
scanf("%d %d",&n,&m);
init(); //初始化是必須的
for(i=1;i<=m;i++)
{
//開始合併犯罪團伙
scanf("%d %d",&x,&y);
merge(x,y);
}
//最後掃描有多少個獨立的犯罪團伙
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(f[i]==i)
sum++;
}
printf("%d\n",sum);
getchar();getchar();
return 0;
}

複製代碼

能夠輸入如下數據進行驗證。第一行n m，n表示強盜的人數，m表示警方蒐集到的m條線索。接下來的m行每一行有兩個數a和b，表示強盜a和強盜b是同夥。

11 10
1 2
3 4
5 2
4 6
2 6
7 11
8 7
9 7
9 11
1 6
運行結果是：
3

複製代碼

並查集也稱爲不相交集數據結構。此算法的發展經歷了十多年，研究它的人也不少，其中Robert E. Tarjan作出了很大的貢獻。在此以前John E. Hopcroft和Jeffrey D. Ullman也進行了大量的分析。你是否是又感受Robert E. Tarjan和John E. Hopcroft很熟悉？沒錯，就是發明了深度優先搜索的兩我的——1986年的圖靈獎得主。你看牛人們歷來都不閒着的。他們處處交流，尋找合做夥伴，一塊兒改變世界。

好了，到了本章結尾的部分啦。其實樹還有不少神奇的用法，好比：線段樹、樹狀數組、Trie樹（字典樹）、二叉搜索樹、紅黑樹（是一種平衡二叉搜索樹）等等。這些數據結構較爲複雜，感興趣的同窗能夠參考其餘資料，或等待下一本《啊哈！算法2——偉大思惟閃耀時》哈哈。

零基礎完全弄懂"並查集"

https://bbs.codeaha.com/forum.php?mod=viewthread&tid=11223&fromuid=1

(出處: 啊哈磊_編程從這裏起步)