我理解的數據結構（五）—— 二分搜索樹（Binary Search Tree）

時間  2019-12-04
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我理解的數據結構（五）—— 二分搜索樹（Binary Search Tree）

1、二叉樹

  • 和鏈表同樣，動態數據結構
  • 具備惟一根節點
  • 每一個節點最多有兩個子節點
  • 每一個節點最多有一個父節點
  • 具備自然的遞歸結構
  • 每一個節點的左子樹也是二叉樹
  • 每一個節點的右子樹也是二叉樹
  • 一個節點或者空也是二叉樹

原理圖

2、二分搜索樹

  • 是二叉樹

  • 每一個節點的值java

    • 大於其左子樹的全部節點的值
    • 小於其右子樹的全部節點的值
  • 每一顆子樹也是二分搜索樹
  • 存儲的元素必須有可比較性

3、二分搜索樹基礎代碼實現

1. 基礎代碼node

由於二分搜索樹的元素必須具備可比較行，因此 E繼承了 Comparable，這是一個注意點 
public class BST<E extends Comparable<E>> {

    // 節點
    private class Node {
        public E e;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

}

2. 添加元素代碼算法

public void add(E e) {

    if (root == null) {
        root = new Node(e);
        size++;
    }

    add(root, e);
}

// 在以node爲根節點的二分搜索樹添加元素e，遞歸調用
private void add(Node node, E e) {

    if (node.e.compareTo(e)) { // 不考慮重複元素
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) > 0 && node.left == null) {
        node.left = new Node(e);
        size++;
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0 && node.right == null) {
        node.right = new Node(e);
        size++;
        return;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        add(node.left, e);
    } else {
        add(node.right, e);
    }
}

3. 添加元素代碼（優化）數據結構

public void add(E e) {

    root = add(root, e);
}

// 返回插入二分搜索樹的根
private Node add(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        size++;
        return new Node(e);
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = add(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0)  {
        node.right = add(node.right, e);
    }
    return node;
}

4. 查詢元素代碼post

// 是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
    return contains(root, e);
}

private boolean contains(Node node, E e) {
    if (node == null) {
        return false;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        return contains(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        return contains(node.right, e);
    } else {
        return true;
    }
}

4、二分搜索樹的前、中、後序遍歷

二叉樹的前中後序遍歷取決於在什麼位置去訪問元素，每一個遍歷都有不一樣的業務場景。
就拿下面這個二叉樹舉例： 
//////////////////
//       5      //  
//      / \     //
//     3   6    //
//   /  \   \   //
//  2   4    8  //
//////////////////

1. 前序遍歷（深度優先遍歷）優化

  • 最經常使用的遍歷方式
// 前序遍歷
public void preOrder() {
    preOrder(root);
}

private void preOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    // 遍歷前訪問元素：前序遍歷
    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}
前序遍歷的結果： 5 3 2 4 6 8

2. 前序遍歷（非遞歸寫法）this

public void preOrderNR() {
    // import java.util.Stack; 
    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.right != null) {
            stack.push(cur.right);
        }
        if (cur.left != null) {
            stack.push(cur.left);
        }
    }
}

3. 中序遍歷spa

  • 二分搜索樹的中序遍歷結果是順序的
// 中序遍歷
public void inOrder() {
    inOrder(root);
}

private void inOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    inOrder(node.left);
    // 遍歷的中間訪問元素：中序遍歷
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}
中序遍歷的結果： 2 3 4 5 6 8

4. 後序遍歷設計

  • 應用場景：釋放內存
// 後序遍歷
public void postOrder() {
    postOrder(root);
}

private void postOrder(Node node) {

    if (node == null) {
        return;
    }

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    // 遍歷的後面訪問元素：後序遍歷
    System.out.println(node.e);
}
中序遍歷的結果： 2 4 3 8 6 5

5、二分搜索樹的層序遍歷（廣度優先遍歷）

和二分搜索樹的前序遍歷不同，層序遍歷是廣度優先遍歷。
仍是這個例子：優先遍歷根節點5，而後是三、6，最後是二、四、8 
//////////////////
//       5      //  
//      / \     //
//     3   6    //
//   /  \   \   //
//  2   4    8  //
//////////////////

  • 優勢：code

    • 更快的找到問題的解
    • 經常使用語設計算法中——最短路徑

代碼實現：

// 層序遍歷
public void levelOrder() {
    levelOrder(root);
}

private void levelOrder(Node node) {
    // import java.util.Queue;
    // import java.util.LinkedList;
    Queue<Node> q = new LinkedList<>();
    ((LinkedList<Node>) q).add(node);

    while (!q.isEmpty()) {

        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.left != null) {
            ((LinkedList<Node>) q).add(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            ((LinkedList<Node>) q).add(cur.right);
        }
    }
}

6、刪除二分搜索樹最大值和最小值

1.找到最小值的節點

  • 從根節點一直找左節點，直到找到node.left == null，此時的node就是最小值的節點
// 二分搜索樹的最小值
public E minimum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node爲根的二分搜索樹的最小值的節點
private Node minimum(Node node) {

    if (node.left == null) {
        return node;
    }
    return minimum(node.left);
}

2.找到最大值的節點

  • 從根節點一直找右節點，直到找到node.right == null，此時的node就是最大值的節點
// 二分搜索樹的最大值
public E maximum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node爲根的二分搜索樹的最大值的節點
private Node maximum(Node node) {

    if (node.right == null) {
        return node;
    }
    return maximum(node.right);
}

3.刪除最小值的節點

  • 若是須要刪除的節點是一個葉子節點，沒有右子樹，那麼直接刪除便可
  • 若是須要刪除的節點不是一個葉子節點，那麼須要把右節點替換到當前的節點
// 刪除最小值的節點
public E removeMin() {
    E min = minimum();
    root = removeMin(root);
    return min;
}

// 刪除二分搜索樹以node爲最小值的節點
// 返回刪除節點後的新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node) {

    // 找到須要刪除的節點
    if (node.left == null) {
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size--;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

4.刪除最大值的節點

// 刪除最大值的節點
public E removeMax() {
    E max = maximum();
    root = removeMax(root);
    return max;
}

// 刪除二分搜索樹以node爲最大值的節點
// 返回刪除節點後的新的二分搜索樹的根
private Node removeMax(Node node) {

    // 找到須要刪除的節點
    if (node.right == null) {
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size--;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

7、刪除二分搜索樹任意值

刪除任意節點可使用前驅（predecessor）和後繼（successor）兩種方法，下面使用的後繼方法。
刪除任意節點有三種狀況：

  1. 刪除只有左子樹的節點

    • 在邏輯上和刪除最大值的節點是同樣的

  2. 刪除只有右子樹的節點

    • 在邏輯上和刪除最小值的節點是同樣的

  3. 刪除既有左子樹和右子樹的節點

    • 1962年，Hibbard提出Hibbard Deletion
    • 原理圖以下

原理圖

代碼實現：

// 刪除元素爲e的節點
public void remove(E e) {
    root = remove(root, e);
}

private Node remove(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        return null;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = remove(node.left, e);
        return node;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    } else { // e == node.e

        if (node.left == null) { // 左子樹爲空
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        if (node.right == null) { // 右子樹爲空
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        // node的後繼
        Node successor = minimum(node.right);
        // 把刪除node.right的後繼後的二叉樹賦值給後繼的right
        successor.right = removeMin(node.right);
        // 把node.left賦值給後繼的left
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}
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