圖解虛數 - A Visual, Intuitive Gudie to Imaginary Numbers

這是一篇發表在 betterexplained 上的文章。它經過類比、圖解的方式簡明地介紹了虛數的意義。
做者：Kalid
原文：A Visual, Intuitive Gudie to Imaginary Numbers
譯者：文之

 

裝載：   http://www.cnblogs.com/andywenzhi/p/5723807.html

 

虛數老是讓我困擾，就像在指數 e 的理解上，大多數解釋均可以劃分爲這兩類之中的一種：

• 它是一個數學的抽象，解決了一些等式。去好好地處理好它吧~
• 相信咱們，它用於高級物理。等到大學你就能夠學到了。

哈，這真是一個鼓勵孩子去學習數學的一個「極佳」方式！今天，咱們用一些咱們最愛的工具來解決這個問題：

• 把焦點放在「關係」上，而不是數學公式；
• 將複數視爲對現有數字系統的一次升級，就像曾經的 0，小數以及負數升級了當時的數字系統那樣；
• 經過視覺圖表而不是文原本理解概念。

以及咱們的祕密武器：經過類比。咱們將會經過觀察它的來源、負數來了解虛數。下面即是你的指南：

有趣的事實	負數 (-x)	複數(a+bi)
被髮明來用來解答	「3-4 等於多少？」	「sqrt(-1) 是多少？」
好奇怪..由於..	你怎麼會比空無一物還少呢？	都空無一物了，還能求平方根嗎？
直覺上的意義	「相反」	「旋轉」
被視爲是荒謬的，直到..	1700s	今天 ☺
累乘循環 [&通常模式]	1, -1, 1, -1... X, -X, X, -X...	1, i, 1, -i... X, Y, -X, -Y...
在座標上的應用	從起始開始向後移動	從起始開始旋轉
測量它的大小	絕對值：	勾股定理：

sqrt(n) 指求 n 的平方根

如今你可能還看不懂上面的指南，可是先放在這兒。最終咱們會搞定虛數 i，而後將它存放在你深深的腦海裏~

真正地瞭解負數

負數並不簡單。想像你是一位 18 世紀的歐洲數學家，你能寫出 4 - 3 = 1，這很簡單。

可是，若是是3 - 4呢？什麼？這到底意味着什麼呢？怎麼能從 3 頭奶牛中牽走 4 頭呢？怎麼可能比什麼都沒有還少呢？

負數曾被看做是荒謬的東西，是一種「使得等式的整個學說都變得灰暗」的東西(Francis Maseres, 1759)。然而在今天，把負數當作是沒有邏輯或者沒有用纔是荒謬的。去問問你的老師，問他們負數是否改變了數學的整個根基。

這是發生了什麼呢？是咱們發明了一種很是有用的理論數字。咱們不能觸摸或者拿到負數，可是在描述某些關係時用負數很是方便（好比債務）。它是一個很是有用的設想。

相比於「我欠你 30」這種須要經過閱讀詞語來判斷是負債與否，我能夠寫「-30」，這意味着我在負債。若是我掙到錢了，還清了債務(-30+1000=70)，我能夠輕易地就記錄下這筆交易。我有 +70 的富餘，這意味着個人債務還清了。

正數和負數的符號自動地追隨了交易的流動方向——你再也不須要一個句子去描述每一筆交易對債務帶來的變化。數學變得更加簡單、更加優雅。負數可不可感知、是否是真實存在再也不重要——由於它們擁有有用的屬性，咱們使用了它直到它成爲了平常生活的每個部分。在今天，若是有人「沒法接受」負數，你能夠說他們真的是駭人聽聞。

可是仍是不要對這種艱難的轉變沾沾自喜：負數曾經是一個很是巨大的思想轉變。即便如歐拉，這位發現了指數 e 等更多發現的天才，也沒法像咱們今天這樣去理解負數。當時負數被看成是「無心義的」結果（後來他彌補了這一點，使人敬佩）。

這也證實了咱們的思想潛能，即今天的孩子們指望去理解那些曾經困惑了古代數學家的問題。

進入虛數

虛數有一個簡單的故事。咱們能夠成天去解決這樣的等式：

它的答案是 3 和 -3。可是若是有一個聰明的人給它添加了一個小小的符號：

阿歐~這個問題讓大多數人在看到它第一眼的時候就感受到了尷尬。你想要對一個小於 0 的數字求平方根？荒謬！（歷史上這個確實是要解決的問題，但我喜歡把它設想成一個聰明的人提出來的）

這個問題看起來好像很愚蠢，就好像負數、0、無理數（不循環的數）剛開始被提出來時必定也會被認爲如此愚蠢。這個問題沒有「實際」的意義，對嗎？

錯！所謂的「虛構的數字」與其餘數字同樣正常：它們都是描述這個世界的工具。就像假設 -1, .3 及 0 「存在」同樣，讓咱們假設有一個數字 i 存在：

就像這樣，你把 i 乘以 i 能夠獲得 -1。那如今發生了什麼？

固然，首先咱們會感到頭痛...可是「假設 i 存在」的遊戲事實上讓數學變得更加簡單和優雅。一種咱們能夠更加方便地描述的新的關係就此浮現。

你也許不相信 i，就像那些執拗的老數學家們同樣不相信 -1 的存在。新的、繞腦的概念都很難，不能馬上理解，即便像歐拉這樣的天才都不行。可是負數告訴咱們，陌生的概念依然能夠頗有用。

我不喜歡「虛數」這個詞語——它被看做是一種侮辱，傷害了 i 的感情。數字 i 就跟其餘同樣數字同樣正常，可是「虛數」這個名字是擺脫不了了，咱們還將會用它。

圖解負數和複數

正如上次咱們看到的那樣，等式 x^2=9 意味着：

或者：

x 是什麼轉換數，累乘兩次，就能把 1 變成 9？

答案有兩個：「x = 3」和 「x = -3」：也就是說，經過將其擴大 3 倍後再擴大 3 倍來實現。

如今讓咱們考慮 x^2=-1，也就是

x 是什麼轉換數，累乘兩次，就能把 1 變成 -1？

• 咱們不能乘以一個正數乘兩次，由於結果仍是正數；
• 咱們不能乘以一個負數乘兩次，由於結果在第二次乘以後會跳回至正數。

然而若是是...旋轉呢！這聽起來很瘋狂，可是若是咱們想像把 x 「旋轉 90 度」，乘以兩次 x 的話，即爲旋轉 180 度，1 就會變成 -1。

呀！若是咱們在想一想，會發現將其在其餘方向（順時針）旋轉兩次也能將 1 轉換爲 -1。這是一個「負」旋轉或者說乘以 -i：

若是咱們乘以 -i 兩次，第一次乘法會將 1 轉換成 -i，第二次將 -i 轉換成 -1。因此這裏實際上有兩個 -1 的平方根：i 和 -i。

這很是酷！咱們有了某種形式的答案，可是它們意味着什麼呢？

• i 是一個「新設想出來的維度」用來衡量數字；
• i (or -i) 是數字在旋轉中「造成的」；
• 乘以 i 就是逆時針旋轉 90 度；
• 乘以 -i 就是順時針旋轉 90 度；
• 兩種旋轉在各自的方向上都是 -1：它把咱們帶回了正數與負數所在的「常規」維度。

數字成二維了。這是思惟的拓展，就像小數或者長除法對一個古羅馬人是思惟拓展同樣。（你認爲 1 和 2 之間的數字有什麼意義？）。這是一個新奇的看待數學的方式。

咱們問「咱們如何用兩步實現 1 轉換成 -1？」而後發現了答案：將其旋轉 90 度。這是一個新奇的看待數學的方式。但很是有用。（順帶提一下，直到 i 被發現後的數十年纔有了這個關於複數的幾何解釋）。

同時也要記住逆時針旋轉變成正數是一我的類的發明——有可能還存在其它更爲簡單的方式。

找到模式

讓咱們深刻到一點小細節中。當乘以一個負數時（就像 -1），你會獲得一個模式：

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

-1 並無改變數字的大小，只改變了符號，來來回回。而對於一些數字"x"，你能夠獲得：

• x, -x, x, -x, x, -x...

這個概念很是有用。數字"x"能夠表明一個愉快或者糟糕的一週。假設每週被分爲愉快的和糟糕的，如今是愉快的一週，那麼在 47 周的時候是愉快的一週仍是糟糕的一週呢？

因此 -x 意味着是糟糕的一週。注意負數是如何「保持與符號的聯繫」的——咱們能夠把 (-1)^47 放到計算器裏面而不用去算（「第一週愉快，第二週糟糕，第三週愉快...）。這種能夠來來回回的東西能夠很好地應用負數這個模型。

那好，如今若是咱們持續乘以 i 會怎麼樣？

這很是有趣。讓咱們簡化一點：

• 1 = 1（這裏無需簡化）
• i = i （這裏無需簡化）
• i ^ 2 = -1 (這就是 i 的所有)
• i ^ 3 = (i · i) · i = -1 · i = -i （3 次逆時針旋轉等於 1 次順時針旋轉，很是好）
• i ^ 4 = (i · ) · (i · i) = -1 · -1 = 1 (4 次旋轉帶來了一個「整圓」)
• i ^ 5 = i ^ 4 · i = 1 · i = i （這裏開始重複...)

從視覺上來看：

每次循環，咱們旋轉 4 次。這就有意義了，對不對？任何一個小孩子都能告訴你旋轉 4 次至關於沒動。如今讓咱們將精力放在虛數(i, i^2)上，觀察這個通常的模式：

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...

就像負數模型那樣來回翻轉，虛數能夠做爲 "X" 和 "Y" 這兩個維度之間的任何東西的旋轉模型，或者是，任何只要有循環、環狀關係的東西——有什麼想法了嗎？

Cos it’d be a sin if you didn’t. There’ll de Moivre be more in future articles.
[譯者注：做者在這裏使用了雙關，翻譯成中文就失去了意義，此句不包含關鍵信息]

理解複數

這裏還有一個細節要說：一個數字能既能夠有「實部」又有「虛部」嗎？

固然有。誰說旋轉必需要旋轉整個 90 度？若是咱們在「實部」的維度和「虛部」的維度上各走一步，看來就是這樣：

如今咱們處於 45 度，在真實的部分和虛構的部分擁有相等的部分(1+i)。這就好像一個熱狗同時有芥末醬和番茄醬——誰說你必需要選擇了？

事實上，咱們能夠選擇任意的實部和虛部的數字來組成一個三角形。這個角度就成爲了「旋轉的角度」。複數是一個有趣的名字，就是說一個數字有實部和虛部兩個部分。它們被寫做 a + bi，其中：

• a 是實部
• b 是虛部

這樣還不錯。可是有一個最後的問題：這個複數有多大呢？咱們不能分開地計算實部和虛部的大小，這樣就沒有意義了。

讓咱們退回一點。一個負數的大小你也不能數出來——它是距離 0 的長度，在負數中：

這是另外一種求絕對值的方式。但對於複數來講，當兩個部分紅 90 度時咱們該如何去測量它的大小呢？

它是一隻鳥，是一架飛機，它是畢達哥拉斯！

他的定理[譯者注：勾股定理]出如今任何地方，甚至在他以後的 2000 年才發明了數字。咱們製造了一種三角形，它的斜邊就是距離 0 的長度：

很是棒！儘管測量它的大小不像「丟棄掉負數的符號」那麼簡單，複數依然有它們的用處。讓咱們看一下它的一個實例。

一個實例：旋轉

咱們沒必要等到大學物理纔去使用虛數，讓咱們今天就來使用它。關於複數的乘法有不少可說的，但把這個記在腦海裏：

• 經過乘以一個複數來旋轉它的角度

下面讓咱們一探究竟。假設我有一條船，向東 3 個單位，向北 4 個單位的方向航行。我想將個人航行方向逆時針偏轉 45 度，那麼個人新方向是多少？

一些高手會說「這很簡單！使用 sine，cosine...blabla...使用 tangent... blabla.. 以及...」。崩潰。抱歉，我打斷了你的計算了嗎？能夠再從新關注一下那個問題嗎？

讓咱們用一個簡單的方法：咱們如今航行在 3 + 4i（不用管什麼角度，不須要關心），而後咱們想偏轉 45 度。那好，45 度是 1 + i（完美的對角線）,這樣我就能夠乘以這個數量！

這裏是思路：

• 初始的航行方向：向東 3 個單位，向北 4 個單位 = 3 + 4i；
• 逆時針旋轉 45 度 = 乘以 1 + i；

若是咱們將它們相乘，能夠獲得：

因此新的航行方向是向西 1 個單位(即向東 -1 個單位)，向北 7 個單位，這樣你就能畫出來，並按照這個方向航行。

呀！咱們在沒有使用 sine 或 cosine 的狀況下找到這個結果只花費了 10 秒鐘。也沒有用到向量、矩陣或者追蹤咱們所在的象限。它僅僅是一個使用了代數乘法的算術。旋轉規則已經深深地嵌入了虛數中：這種規則是有效的。

更好的是，這個結果是有用的。咱們航行在(-1, 7)而不是一個角度（arctan(7/-1)=98.13，記住咱們在第二象限）。你計劃畫出或者跟隨這個角度？在四周都用上量角器？

不行。你要把它轉換爲 cosine 和 sine (-.14 和 .99)，找到一個合理的比率（大約在 1 到 7 之間），而後描繪出這個三角形。而複數能夠迅速、準確，且在沒有計算器的狀況下作這件事情。

若是你像我同樣，你會發現這運用了思惟拓展。若是你沒有...額...恐怕數學並不適合你。對不起...

三角學很偉大，可是複數可讓醜陋的計算變得簡單（好比計算 cosine(a+b))。這篇文章僅僅是個預覽，後續的文章會給你全餐。

另外：一些人認爲「Hey，用北/東指明航行方向來替代角度指明航行方向沒有多大用處！」

不是吧？好吧。你看看你的右手。小手的中間到食指的尖端的角度是多少？本身算吧，祝你好運。

而用北/東航行法，你至少能夠說：「橫向距離 X 英寸，縱向距離 Y 英寸」，這樣還有一些機會算出它的方向。

複數不「正常」

上面快速地過了一下我在複數上的基本觀點。看看文章開頭的第一個表格——如今應該能看懂了。

還有很是多美妙、好玩的數字，可是個人大腦已經很疲憊了。個人目的很簡單：

• 讓你相信複數雖然被視爲「瘋狂」，可是頗有用（就像曾經的負數那樣）；
• 展現了複數可使某些問題變得簡單，好比旋轉。

若是我看起來對這個話題很是熱心和關注，這裏有個緣由：我對虛數念念不忘不少年——對它缺乏一種直觀的看法，這讓我很沮喪。

如今我終於有了這樣的看法，我火燒眉毛地去分享它們。但若是你只是在一個狂熱的人的博客上閱讀了這篇文章，而不是在教室裏，這會讓我感到沮喪。咱們束縛本身的疑問，緩緩前行——是由於咱們沒有去尋找、分享一些簡潔、直觀的看法。

但點亮一支蠟燭好過詛咒黑暗：這是個人想法，並且大家的其中之一也將會發出光亮。想一想看，正是咱們「解決」了像數字這樣的問題才讓咱們能一直停留在羅馬數字的大陸上。

這裏還有更多複數的內容：查看複數算術的細節。Happy math.

後記：可是他們仍然很陌生!

我知道，複數對我來講，也依然很陌生。我試着把本身放到第一個發現 0 的人思惟中。

0 是如此怪異的觀點，有「0 個東西」卻表明「沒有東西」，羅馬人避開了這個數字。複數也極其類似——它是一種新的思惟方式。可是 0 和複數都讓數學變得更加簡單。若是咱們從不採納陌生的、新的數字系統，咱們就只能靠手指數數了。

我重複了這個類比，是由於這樣能夠很輕易地去開始認爲複數不「正常」。讓咱們打開思惟：在將來，他們會爲複數曾被不相信而輕聲地笑：儘管都已經 21 世紀了。

若是你想得到更多重要的細節，訪問wikipedia, the Dr. Math discussion, 或者其餘關於虛數爲何存在的爭論。

 

 

 

 

 

 

 

什麼是虛數首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點：+1和-1。這根數軸的正向部分，能夠繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度，+1就會變成-1。這至關於兩次逆時針旋轉90度。所以，咱們能夠獲得下面的關係式：(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)若是把+1消去，這個式子就變爲：(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)將"逆時針旋轉90度"記爲 i ：i^2 = (-1)這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。因此，咱們能夠知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。複數的定義既然 i 表示旋轉量，咱們就能夠用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。將實數軸看做橫軸，虛數軸看做縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然惟一對應這個平面中的某個點。只要肯定橫座標和縱座標，好比( 1 , i )，就能夠肯定某個實數的旋轉量（45度）。數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維座標：用 + 號把橫座標和縱座標鏈接起來。好比，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫作複數（complex number），其中 1 稱爲實數部，i 稱爲虛數部。爲何要把二維座標表示成這樣呢，下一節告訴你緣由。虛數的做用：加法虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。好比，物理學須要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i，另外一個力是1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？根據"平行四邊形法則"，你立刻獲得，合成力就是( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。這就是虛數加法的物理意義。虛數的做用：乘法若是涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。好比，一條船的航向是3 + 4i 。若是該船的航向，逆時針增長45度，請問新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就能夠了（緣由在下一節解釋）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )因此，該船的新航向是-1 + 7i。若是航向逆時針增長90度，就更簡單了。由於90度的航向就是 i ，因此新航向等於：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。