偶數矩陣 Even Parity,UVa 11464

題目描述 Description

給你一個n*n的01矩陣（每一個元素非0即1），你的任務是把儘可能少的0變成1，使得每一個元素的上、下、左、右的元素（若是存在的話）之和均爲偶數。如圖所示的矩陣至少要把3個0變成1，最終如圖所示，才能保證其爲偶數矩陣。

 輸入輸出格式 Input/output

輸入格式：
輸入的第一行爲數據組數T（T<30）。每組數據的第一行爲正整數n（1 < n < 15）；接下來的n行每行包含n個非0即1的整數，相鄰整數間用一個空格隔開。
輸出格式：
對於每組數據，輸出被改變的元素的最小個數。若是無解，應輸出-1。

 輸入輸出樣例 Sample input/output

樣例測試點#1

輸入樣例：

0 0 0

1 0 0

0 0 0

輸出樣例：

3

 

思路：這道題很經典，經典的枚舉也有DP的意味在裏面，這裏我把書上的思路詳細化。

書上談到：拋棄枚舉每一個數字的方法，這樣很大，大概2 ²⁵⁵這麼多的狀況，很大，難以接受，能夠考慮枚舉第一行，這樣有2 ¹⁵種可能，是可行的，根據第一行算出第二行，以此類推到第n行，時間複雜度降爲O(2 ⁿ×n ²)

點石成金罷了，下面來講說如何具體的作到：

將樣例的第一行：

0 0 0

能夠經過枚舉變成

0 1 0

這樣第一行就肯定下來了，這時候考慮第二行：

0 1 0

α

考慮一下第一行第一列的0，它的上下左右加和=α+1，那麼這時候要保證是偶數，即(α+1)%2==0，因此α=1，這時候看看這個α可不能夠由原矩陣A的這個位置的數變化而來（即0→1），合法，此時記上1。

0 1 0

1 α

一樣計算第一行第二列，(0+α+0)%2==0，α=0，比較原矩陣，合法，記上0。

0 1 0

1 0 α

同上，合法變換矩陣爲：

0 1 0

1 0 1

最終執行完：

0 1 0

1 0 1

0 1 0

 

大體的思路就是這樣，要注意的是一些細節之處，好比位運算簡化，這樣能夠使代碼簡潔不少且運算方便

 

代碼以下（書上copy下來且加了點註釋的）：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <string.h>
 4 #include <math.h>
 5 const int MAXN=20;
 6 const int INF=100000;
 7 int A[MAXN][MAXN],B[MAXN][MAXN];
 8 int n;
 9 int min(int a,int b)
10 {
11     return a>b?b:a;
12 }
13 int check(int s)
14 {
15     memset(B,0,sizeof(int));
16     for(int c=0;c<n;c++)//枚舉第一行 
17     {
18         if(s&(1<<c)) B[0][c]=1;
19         else if(A[0][c]==1) return INF;//不能把1變成0，直接返回 
20     }
21     for(int r=1;r<n;r++)//從第二行開始依次篩查 
22     {
23         for(int c=0;c<n;c++)
24         {
25             int sum=0;//表示上左右三個元素的和 
26             if(r>1) sum+=B[r-2][c];
27             if(c>0) sum+=B[r-1][c-1];
28             if(c<n-1) sum+=B[r-1][c+1];
29             B[r][c]=sum%2;
30             if(A[r][c]==1&&B[r][c]==0) return INF;//違法，不能把1變爲0 
31         }
32     }
33     int cnt=0;
34     for(int r=0;r<n;r++)
35     {
36         for(int c=0;c<n;c++)
37         {
38             if(A[r][c]!=B[r][c]) cnt++;
39         }
40     }
41     return cnt;
42 } 
43 int main()
44 {
45     int r,c;//行、列
46     int i,j;
47     int T;
48     int ans=INF;//初始化爲最大值 
49     scanf("%d",&T);
50     while(T)
51     {
52         ans=INF;
53         scanf("%d",&n);
54         for(i=0;i<n;i++)
55         {
56             for(j=0;j<n;j++)
57             {
58                 scanf("%d",&A[i][j]);
59             }
60         }
61         for(int s=0;s<(1<<n);s++)//1<<n等於2^n，不用pow，比較方便 
62         {
63             ans=min(ans,check(s));//不斷更新最小ans 
64         }
65         if(ans==INF) ans=-1;//沒找到答案 
66         printf("%d %d\n",T,ans);
67         T--;
68     } 
69     return 0;
70 }